Nie jest to niezbędne do rozwiązania zadania (ale jak dla nieco je upraszcza, przynajmniej w zapisie).
Nie zmienia to jednak faktu, że dalej nic nie masz. Wróciłbym na Twoim miejscu do domykania zbioru generatorów na operacje algebry. Do czego prowadzi domykanie na operację sumy dwóch zbiorów (tzn. jakie zbiory możesz w ten sposób wygenerować)?
JK
Algebra generowana, a sigma algebra
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Algebra generowana, a sigma algebra
Nie mam pojęcia, a nie chcę strzelać. Nie widzę zbytnio różnicy bo kompletnie nie rozumiem zasady działania algebry generowanej (do tej pory uważałem, że jest to po prostu zbiór, który musi spełniać pewne warunki, a nie widzę go jako ciała).Jan Kraszewski pisze: ↑7 lis 2019, o 21:06 Nie zmienia to jednak faktu, że dalej nic nie masz. Wróciłbym na Twoim miejscu do domykania zbioru generatorów na operacje algebry. Do czego prowadzi domykanie na operację sumy dwóch zbiorów (tzn. jakie zbiory możesz w ten sposób wygenerować)?
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Algebra generowana, a sigma algebra
A generowałeś kiedykolwiek cokolwiek w jakiejkolwiek dziedzinie matematyki? Bo to jest ogólna procedura.
Możesz obiekt generowany opisywać jako najmniejszy o danej własności zawierający zbiór generatorów i taki opis jest często wygodny w dowodach różnych własności tego generowanego obiektu. Ale możesz też opisywać go efektywnie, śledząc procedurę domykania.
Masz zbiór singletonów na początku. Chcesz, by Twój obiekt docelowy był zamknięty na działania algebry, więc zastanawiasz się, co dodać do zbioru generatorów, żeby zbliżyć się do tego celu. Na przykład jak weźmiesz dwa różne singletony, to ich suma (czyli zbiór dwuelementowy) nie jest w tym w wyjściowym zbiorze. Musisz zatem dorzucić wszystkie zbiory dwuelementowe. Teraz biorąc dwa singletony i sumując je nie wyjdziesz poza ten powiększony zbiór. No ale jeszcze nie jest dobrze, bo musisz np. umieć dodać singleton i zbiór dwuelementowy. Musisz zatem dodać wszystkie zbiory trzyelementowe itd.
JK
Możesz obiekt generowany opisywać jako najmniejszy o danej własności zawierający zbiór generatorów i taki opis jest często wygodny w dowodach różnych własności tego generowanego obiektu. Ale możesz też opisywać go efektywnie, śledząc procedurę domykania.
Masz zbiór singletonów na początku. Chcesz, by Twój obiekt docelowy był zamknięty na działania algebry, więc zastanawiasz się, co dodać do zbioru generatorów, żeby zbliżyć się do tego celu. Na przykład jak weźmiesz dwa różne singletony, to ich suma (czyli zbiór dwuelementowy) nie jest w tym w wyjściowym zbiorze. Musisz zatem dorzucić wszystkie zbiory dwuelementowe. Teraz biorąc dwa singletony i sumując je nie wyjdziesz poza ten powiększony zbiór. No ale jeszcze nie jest dobrze, bo musisz np. umieć dodać singleton i zbiór dwuelementowy. Musisz zatem dodać wszystkie zbiory trzyelementowe itd.
JK
Re: Algebra generowana, a sigma algebra
Czyli mowa teraz o sposobie konstrukcji zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) tworzonego przez generator \(\displaystyle{ \alpha\left(\mathcal{A}\right)}\)?Jan Kraszewski pisze: ↑7 lis 2019, o 21:32 Masz zbiór singletonów na początku. Chcesz, by Twój obiekt docelowy był zamknięty na działania algebry, więc zastanawiasz się, co dodać do zbioru generatorów, żeby zbliżyć się do tego celu. Na przykład jak weźmiesz dwa różne singletony, to ich suma (czyli zbiór dwuelementowy) nie jest w tym w wyjściowym zbiorze. Musisz zatem dorzucić wszystkie zbiory dwuelementowe. Teraz biorąc dwa singletony i sumując je nie wyjdziesz poza ten powiększony zbiór. No ale jeszcze nie jest dobrze, bo musisz np. umieć dodać singleton i zbiór dwuelementowy. Musisz zatem dodać wszystkie zbiory trzyelementowe itd.
Przykładowo, wezmę \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4\right\}, A=\left\{ 1 \right\}, B=\left\{ 2 \right\}}\). Wówczas algebra generowana przez zbiory A i B w X to: \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A \right\},\left\{ B \right\}\right)=\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,4 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}\right\} ?}\)
-
- Administrator
- Posty: 34286
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Algebra generowana, a sigma algebra
Tak.
Po pierwsze przesadziłeś z klamerkami, powinno być \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A , B \right\}\right)}\).Kaymon pisze: ↑7 lis 2019, o 21:52Przykładowo, wezmę \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4\right\}, A=\left\{ 1 \right\}, B=\left\{ 2 \right\}}\). Wówczas algebra generowana przez zbiory A i B w X to: \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A \right\},\left\{ B \right\}\right)=\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,4 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}\right\} ?}\)
Po drugie - tak. Tak wygląda algebra generowana w tym przypadku.
JK