Algebra generowana, a sigma algebra

[Kaymon]

Mam problem z zadaniem:
Sprawdzić, czy algebra generowana dana wzorem:
\(\displaystyle{ \mathcal{C}=\alpha(\mathcal{A})\subset 2^{\mathbb{N}}, \mathcal{A}=\left\{ \left\{ a \right\} \subset \mathbb{R} :a \in \mathbb{N}\right\} }\)
jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą zbiorów.

Ktoś może nasunie jakiś pomysł?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \mathcal{C}=\alpha(\mathcal{A})\subset 2^{\mathbb{N}}, \mathcal{A}=\left\{ \left\{ a \right\}\red{ \subset \mathbb{R}} :a \in \mathbb{N}\right\} }\)

Mógłbyś wytłumaczyć, po co to zawieranie? Bo to dziwnie i niedobrze wygląda.

Jeśli chodzi o algebrę generowaną przez singletony liczb naturalnych: gdyby \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) była \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą, to \(\displaystyle{ \mathcal{C}= 2^{\mathbb{N}}}\).

JK

[Kaymon]

To zawieranie również mnie dziwiło, jednak dokładnie tak zostało napisane zadanie (prawdopodobnie w celu lekkiego rozkojarzenia).

Co do samego zadania, mam dylemat, jeżeli w założeniu mamy zawieranie w \(\displaystyle{ 2^{\mathbb{N}}}\) to przyjmujemy domyślnie, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) ma być podzbiorem właściwym, czy jednak może on być również podzbiorem niewłaściwym w rozumieniu, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}=2^{\mathbb{N}}}\) nie prowadzi do sprzeczności?

[Jan Kraszewski]

To zawieranie również mnie dziwiło, jednak dokładnie tak zostało napisane zadanie (prawdopodobnie w celu lekkiego rozkojarzenia).

Z formalnego punktu widzenia ten zapis jest niepoprawny.

Co do samego zadania, mam dylemat, jeżeli w założeniu mamy zawieranie w \(\displaystyle{ 2^{\mathbb{N}}}\) to przyjmujemy domyślnie, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) ma być podzbiorem właściwym, czy jednak może on być również podzbiorem niewłaściwym w rozumieniu, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}=2^{\mathbb{N}}}\) nie prowadzi do sprzeczności?

A dlaczego miałoby być podzbiorem właściwym? Poza tym to nie ma nic do rzeczy. W istocie rzeczy algebra \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) będzie właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ 2^{\mathbb{N}}}\) - moja wskazówka miała Ci uświadomić, dlaczego to nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra. Tak naprawdę jest algebra składająca się ze zbiorów skończonych i koskończonych (tzn. o skończonych dopełnieniach).

JK

[Kaymon]

I teraz tak naprawdę się pogubiłem.

Czy chodzi może o to, jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) jest algebrą składającą się ze zbiorów skończonych i koskończonych to znaczy, że zbiory te są co najwyżej przeliczalne, więc możemy wyjść poza klasę \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\)?

[Jan Kraszewski]

Czy chodzi może o to, jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) jest algebrą składającą się ze zbiorów skończonych i koskończonych to znaczy, że zbiory te są co najwyżej przeliczalne, więc możemy wyjść poza klasę \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\)?

Teraz to ja nie rozumiem, o co Ci chodzi. Skoro masz algebrę składającą się z podzbiorów \(\displaystyle{ \NN}\) (wyraźnie napisałeś \(\displaystyle{ \mathcal{C}\subset 2^{\mathbb{N}}}\)) to jakież one mają być, jeśli nie co najwyżej przeliczalne? I co Ci chodzi z tym "wychodzeniem poza klasę \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\)"?

Po prostu zastanów się, jakie zbiory jesteś w stanie wygenerować z singletonów.

JK

[Kaymon]

Z singletonów jestem w stanie wygenerować zbiory, które są przeliczalne oraz ich dopełnienia również są przeliczalne, tak?
Zatem mógłbym zapisać \(\displaystyle{ \alpha\left( \left\{ \left\{ a \right\}: a\in\mathbb{N} \right\} \right)=\left\{ A\subseteq\mathbb{N}: |A|\leq|\mathbb{N}| \vee |X\setminus A|\leq|\mathbb{N}| \right\} }\) ?
Jeżeli tak, to wiem, że prawa strona równości jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą (o ile nie wykonałem błędnego sprawdzenia).
W celu sprawdzenia równości muszę sprawdzić dwa zawierania.
1. \(\displaystyle{ L\subseteq P}\) co jest prawdziwe, gdyż \(\displaystyle{ \left\{ a \right\} \leq |\mathbb{N}| \rightarrow \left\{ a \right\} \in P}\)
2. \(\displaystyle{ P\subseteq L}\) co prawdziwe już nie jest, ponieważ L jako algebra nie jest zamknięta na przeliczalne sumy.
I to wówczas dowodziłoby, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą.

Czy to rozumowanie jest jednak niepoprawne?

[Jan Kraszewski]

Z singletonów jestem w stanie wygenerować zbiory, które są przeliczalne oraz ich dopełnienia również są przeliczalne, tak?[/latex]

Czyżby? A w jaki niby sposób?

JK

[Kaymon]

Właśnie nie jestem tego pewny, dlatego pytam. Myślę że z definicji algebry generowanej otrzymamy właśnie takie zbiory. Bo wówczas \(\displaystyle{ \mathcal{A} }\) możemy ustawić jako ciąg singletonow, więc z definicji algebry generowanej otrzymalibysmy te zbiory przeliczalne wraz z dopelnieniami.

Jednak jak się domyślam, moje rozumowanie jest jednak błędne

[Jan Kraszewski]

To może przypomnij definicję algebry generowanej, bo używasz jej w podejrzany sposób.

JK

[Kaymon]

W skrócie to algebra generowana od \(\displaystyle{ \mathcal{A} }\) jest przekrojem wszystkich algebr \(\displaystyle{ \mathcal{B} }\), takich że \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subset \mathcal{B} }\)

Dodano po 1 godzinie 2 minutach 34 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{C}\subset 2^{\mathbb{N}}}\) będzie rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\). Oznaczmy:
\(\displaystyle{ \alpha\left(\mathcal{C}\right)=\bigcap\left\{ \mathcal{A} : \mathcal{C}\subset\mathcal{A}, \mathcal{A}\textrm{- algebra} \right\} }\)
Algebrę \(\displaystyle{ \alpha\left(\mathcal{C}\right)}\) nazywamy algebrą generowaną przez rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\).

[Jan Kraszewski]

No i jak na tej podstawie chcesz wywnioskować poniższe?

Bo wówczas \(\displaystyle{ \mathcal{A} }\) możemy ustawić jako ciąg singletonow, więc z definicji algebry generowanej otrzymalibysmy te zbiory przeliczalne wraz z dopelnieniami.

Możesz też pomyśleć o algebrze generowanej w sposób efektywny - musisz zbiór generujący domknąć na działania algebry, czyli na sumę dwóch zbiorów i na dopełnienie.

JK

[Kaymon]

Próbowałem zbiór generujący domknąć na działania algebry za pomocą zdefiniowania go jako ciągu, a następnie korzystając z podciągów, ale nie wiem czy to mnie prawidłowo doprowadzi, a rozwiązanie samego zadania straciłem gdzieś po drodze.

Czy chociaż wcześniejsze rozumowanie z przyrównaniem sigmy algebry to algebry jest prawidłowe?

[Jan Kraszewski]

Próbowałem zbiór generujący domknąć na działania algebry za pomocą zdefiniowania go jako ciągu,

Coś Ty się tego ciągu uczepił? I co to ma wspólnego z domykaniem?

Czy chociaż wcześniejsze rozumowanie z przyrównaniem sigmy algebry to algebry jest prawidłowe?

Nie. Przecież tam nie ma żadnego rozumowania. Pomijając już błędy w sformułowaniu "uzasadniasz", że algebra generowana \(\displaystyle{ \alpha\left( \left\{ \left\{ a \right\}: a\in\mathbb{N} \right\} \right)}\) i \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra \(\displaystyle{ \left\{ A\subseteq\mathbb{N}: |A|\leq|\mathbb{N}| \vee |X\setminus A|\leq|\mathbb{N}| \right\}}\) nie są równe, bo pierwsza jest algebrą, a druga \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą. Ale to jest masło maślane.

Przede wszystkim nie masz pojęcia, jak wygląda algebra generowana i nie wiesz, czy nie jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą. Zakładasz tylko, że skoro nie ma literki \(\displaystyle{ \sigma}\) w nazwie, to nie jest. Ale to nie jest żaden argument!

Nawiasem mówiąc, chyba nadal nie zauważasz, że \(\displaystyle{ \left\{ A\subseteq\mathbb{N}: |A|\leq|\mathbb{N}| \vee |X\setminus A|\leq|\mathbb{N}| \right\}=2^\NN.}\)

JK

[Kaymon]

Nawiasem mówiąc, chyba nadal nie zauważasz, że \(\displaystyle{ \left\{ A\subseteq\mathbb{N}: |A|\leq|\mathbb{N}| \vee |X\setminus A|\leq|\mathbb{N}| \right\}=2^\NN.}\)

Nie zauważam po prostu związku tego faktu z zadaniem.