Algebra generowana, a sigma algebra

[Jan Kraszewski]

Nie jest to niezbędne do rozwiązania zadania (ale jak dla nieco je upraszcza, przynajmniej w zapisie).

Nie zmienia to jednak faktu, że dalej nic nie masz. Wróciłbym na Twoim miejscu do domykania zbioru generatorów na operacje algebry. Do czego prowadzi domykanie na operację sumy dwóch zbiorów (tzn. jakie zbiory możesz w ten sposób wygenerować)?

JK

[Kaymon]

Nie zmienia to jednak faktu, że dalej nic nie masz. Wróciłbym na Twoim miejscu do domykania zbioru generatorów na operacje algebry. Do czego prowadzi domykanie na operację sumy dwóch zbiorów (tzn. jakie zbiory możesz w ten sposób wygenerować)?

Nie mam pojęcia, a nie chcę strzelać. Nie widzę zbytnio różnicy bo kompletnie nie rozumiem zasady działania algebry generowanej (do tej pory uważałem, że jest to po prostu zbiór, który musi spełniać pewne warunki, a nie widzę go jako ciała).

[Jan Kraszewski]

A generowałeś kiedykolwiek cokolwiek w jakiejkolwiek dziedzinie matematyki? Bo to jest ogólna procedura.

Możesz obiekt generowany opisywać jako najmniejszy o danej własności zawierający zbiór generatorów i taki opis jest często wygodny w dowodach różnych własności tego generowanego obiektu. Ale możesz też opisywać go efektywnie, śledząc procedurę domykania.

Masz zbiór singletonów na początku. Chcesz, by Twój obiekt docelowy był zamknięty na działania algebry, więc zastanawiasz się, co dodać do zbioru generatorów, żeby zbliżyć się do tego celu. Na przykład jak weźmiesz dwa różne singletony, to ich suma (czyli zbiór dwuelementowy) nie jest w tym w wyjściowym zbiorze. Musisz zatem dorzucić wszystkie zbiory dwuelementowe. Teraz biorąc dwa singletony i sumując je nie wyjdziesz poza ten powiększony zbiór. No ale jeszcze nie jest dobrze, bo musisz np. umieć dodać singleton i zbiór dwuelementowy. Musisz zatem dodać wszystkie zbiory trzyelementowe itd.

JK

[Kaymon]

Masz zbiór singletonów na początku. Chcesz, by Twój obiekt docelowy był zamknięty na działania algebry, więc zastanawiasz się, co dodać do zbioru generatorów, żeby zbliżyć się do tego celu. Na przykład jak weźmiesz dwa różne singletony, to ich suma (czyli zbiór dwuelementowy) nie jest w tym w wyjściowym zbiorze. Musisz zatem dorzucić wszystkie zbiory dwuelementowe. Teraz biorąc dwa singletony i sumując je nie wyjdziesz poza ten powiększony zbiór. No ale jeszcze nie jest dobrze, bo musisz np. umieć dodać singleton i zbiór dwuelementowy. Musisz zatem dodać wszystkie zbiory trzyelementowe itd.

Czyli mowa teraz o sposobie konstrukcji zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) tworzonego przez generator \(\displaystyle{ \alpha\left(\mathcal{A}\right)}\)?
Przykładowo, wezmę \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4\right\}, A=\left\{ 1 \right\}, B=\left\{ 2 \right\}}\). Wówczas algebra generowana przez zbiory A i B w X to: \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A \right\},\left\{ B \right\}\right)=\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,4 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}\right\} ?}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli mowa teraz o sposobie konstrukcji zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) tworzonego przez generator \(\displaystyle{ \alpha\left(\mathcal{A}\right)}\)?

Tak.

Przykładowo, wezmę \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,4\right\}, A=\left\{ 1 \right\}, B=\left\{ 2 \right\}}\). Wówczas algebra generowana przez zbiory A i B w X to: \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A \right\},\left\{ B \right\}\right)=\left\{ \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,4 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 3,4 \right\}\right\} ?}\)

Po pierwsze przesadziłeś z klamerkami, powinno być \(\displaystyle{ \alpha\left(\left\{ A , B \right\}\right)}\).
Po drugie - tak. Tak wygląda algebra generowana w tym przypadku.

JK