Wymiar Hausdorffa zbioru liczb Liouville'a

[MrCommando]

Poszukuję dowodu faktu, że wymiar Hausdorffa zbioru liczb Liouville'a jest równy zero. Niestety w sieci ciężko cokolwiek znaleźć. Znalazłem jednak to

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/249673/proof-that-the-hausdorff-dimension-of-liouville-numbers-is-zero

Jednak zbytnio nie rozumiem co się tam dzieje. Najpierw bierzemy sobie pewne \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-pokrycie zbioru \(\displaystyle{ L \cap [0,1]}\), w porządku. No i próbujemy oszacować sumę średnic zbiorów wchodzących w to pokrycie w \(\displaystyle{ s}\)-tej potędze. No i właśnie - skąd się w ogóle wzięło to oszacowanie? Przecież \(\displaystyle{ \left|I_{p/q}\right|^s=\left(\frac{2}{q^n}\right)^s}\) i jakim prawem można to oszacować w ten sposób? Na koniec jeszcze w magiczny sposób pojawia się liczba \(\displaystyle{ \delta>0}\), a daleki jestem od zrozumienia dlaczego niby taka suma ma być mniejsza od dowolnego \(\displaystyle{ \delta>0}\) - przecież konstrukcji naszego \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-pokrycia nigdzie nie uzależnialiśmy od takiej liczby.

Gdyby ktoś miał pod ręką sensowny dowód tego faktu, albo byłby w stanie rozjaśnić mi ten, który podałem, to byłbym wdzięczny, bo na obecnym poziomie (nie)wiedzy to jest dla mnie masakra.

[Dasio11]

Zbiór \(\displaystyle{ E}\) ma wymiar Hausdorffa równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ s > 0, \varepsilon > 0, \delta > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-pokrycie \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) zbioru \(\displaystyle{ E}\), takie że

\(\displaystyle{ \sum_{C \in \mathcal{C}} (\mathrm{diam} \; C)^s \le \delta}\).

Ustalmy więc \(\displaystyle{ s > 0, \varepsilon > 0, \delta > 0}\) i weźmy takie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ ns \ge 3}\). Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest ułamkiem nieskracalnym i \(\displaystyle{ q > 0}\), definiujemy

\(\displaystyle{ I_{\frac{p}{q}} = \left( \frac{p}{q} - \frac{1}{q^n}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^n} \right)}\).

Skonstruowanym przez nas pokryciem jest rodzina

\(\displaystyle{ \mathcal{C} = \left\{ I_{\frac{p}{q}} : \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \wedge q \ge q_0 \right\}}\),

gdzie \(\displaystyle{ q_0}\) jest pewną dużą liczbą naturalną, którą zdefiniujemy później. Deklarujemy też, że \(\displaystyle{ \frac{2}{(q_0)^n} \le \varepsilon}\), w związku z czym \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) jest w istocie \(\displaystyle{ \varepsilon}\)-pokryciem.

Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) przykrywa \(\displaystyle{ L \cap [0, 1]}\). Co więcej

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\sum_{C \in \mathcal{C}} (\mathrm{diam} \; C)^s & = \sum_{\substack{\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \\ q \ge q_0}} \big( \mathrm{diam} \; I_{\frac{p}{q}} \big)^s = \sum_{\substack{\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \\ q \ge q_0}} \left( \frac{2}{q^n} \right)^s
\end{align*}}\).

Dla każdego \(\displaystyle{ q \ge q_0}\) jest nie więcej niż \(\displaystyle{ q}\) liczb całkowitych \(\displaystyle{ p}\), takich że \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]}\) jest ułamkiem nieskracalnym. Stąd

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\sum_{\substack{\frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap [0, 1] \\ q \ge q_0}} \left( \frac{2}{q^n} \right)^s & \le \sum_{q \ge q_0} \left( \frac{2}{q^n} \right)^s \cdot q = \sum_{q \ge q_0} \frac{2^s}{q^{ns-1}}
\end{align*}}\).

Skoro \(\displaystyle{ \alpha = ns-1 \ge 2}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{q=1}^{\infty} \frac{2^s}{q^{\alpha}}}\) jest zbieżny i

\(\displaystyle{ \lim_{q_0 \to \infty} \sum_{q=q_0}^{\infty} \frac{2^s}{q^{\alpha}} = 0}\).

Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ q_0 \in \mathbb{N}}\) zachodzi więc

\(\displaystyle{ \sum_{q=q_0}^{\infty} \frac{2^s}{q^{\alpha}} \le \delta}\),

co uzupełnia definicję pokrycia \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) i jednocześnie pokazuje, że

\(\displaystyle{ \sum_{C \in \mathcal{C}} (\mathrm{diam} \; C)^s \le \delta}\).

QED

[MrCommando]

Świetne! Właśnie czegoś takiego szukałem i teraz mogę spać spokojnie dziękuję bardzo za pomoc!