Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Problem jak w tytule tematu.
Moja propozycja:
Z definicji ciała spełnione są dwa aksjomaty \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Wystarczy więc wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\) , to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^\infty \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in S}\)
Dla dowodu indukcyjnego sprawdźmy najpierw, czy:
\(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\), to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^2 A_i \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^2 A_i \in S.}\)
A to zachodzi z założenia.
Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i \in S}\).
Sprawdźmy teraz: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)
Z założenia indukcyjnego: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in S.}\)
Ponadto z aksjomatu ciała i definicji uogólnionej sumy:
\(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \cup A_{n} \in S \Leftrightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)
Poprawnie, czy gdzieś się pogubiłem jak zwykle?
Moja propozycja:
Z definicji ciała spełnione są dwa aksjomaty \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Wystarczy więc wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\) , to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^\infty \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in S}\)
Dla dowodu indukcyjnego sprawdźmy najpierw, czy:
\(\displaystyle{ A_1, A_2 \in S \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in S}\), to \(\displaystyle{ \left\{A_i\right\}_{i=1}^2 A_i \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^2 A_i \in S.}\)
A to zachodzi z założenia.
Załóżmy zatem, że \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^n A_i \in S}\).
Sprawdźmy teraz: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)
Z założenia indukcyjnego: \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in S.}\)
Ponadto z aksjomatu ciała i definicji uogólnionej sumy:
\(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, A_{n+1} \in S \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \cup A_{n} \in S \Leftrightarrow \bigcup_{i=1}^{n+1} A_i \in S.}\)
Poprawnie, czy gdzieś się pogubiłem jak zwykle?
-
- Administrator
- Posty: 34235
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Zaraz, zaraz, a co to jest \(S\) ? Bo w ogólności to ja znam ciała, które nie są \(\sigma\)-ciałami, np. ciało skończonych i koskończonych podzbiorów \(\NN\).
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Rodzina \(\displaystyle{ S \subset P(X)}\) jest ciałem w \(\displaystyle{ X}\) jeżeli spełnia:
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in S}\)
2. \(\displaystyle{ A \in S \Rightarrow X \setminus A \in S}\)
3. \(\displaystyle{ A, B \in S \Rightarrow A \cup B \in S}\)
1. \(\displaystyle{ \emptyset \in S}\)
2. \(\displaystyle{ A \in S \Rightarrow X \setminus A \in S}\)
3. \(\displaystyle{ A, B \in S \Rightarrow A \cup B \in S}\)
-
- Administrator
- Posty: 34235
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Znam definicję ciała. Zwróciłem Ci tylko uwagę, że próba uzasadnienia, że dowolne ciało jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem jest z góry skazana na niepowodzenie, bo to ewidentna nieprawda.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
W takim razie w moim rozumowaniu musi być luka, skoro stwierdza nieprawdę.
Pomyliłem treść zadania, bo należało udowodnić, ze sigma-ciało jest ciałem.
Pomyliłem treść zadania, bo należało udowodnić, ze sigma-ciało jest ciałem.
-
- Administrator
- Posty: 34235
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Zgadza się. Jest ona na samym początku dowodu i bierze się z niewystarczającego zrozumienia, czym jest indukcja. Abstrahując od fałszywości tezy indukcją nie miałbyś szans jej dowieść. Postaraj się zatem zrozumieć, co tak naprawdę daje Ci Zasada Indukcji Matematycznej.
No to akurat jest dość trywialne.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Mógłbym prosić o polecenie jakieś literatury, która wyjaśniłaby mi to w sposób wyczerpujący? Bo jak widać, to co czytałem do tej pory było albo napisane, albo zrozumiane przeze mnie po łebkach.Jan Kraszewski pisze: ↑20 paź 2019, o 17:14Zgadza się. Jest ona na samym początku dowodu i bierze się z niewystarczającego zrozumienia, czym jest indukcja. Abstrahując od fałszywości tezy indukcją nie miałbyś szans jej dowieść. Postaraj się zatem zrozumieć, co tak naprawdę daje Ci Zasada Indukcji Matematycznej.
Mam pomysł, by wziąć \(\displaystyle{ n}\) zbiorów, a resztę potraktować jako zbiory puste, ale na tym moje pomysły się kończą.
-
- Administrator
- Posty: 34235
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Udowodnić, że jeśli S jest ciałem to jest sigma-ciałem
Nie sądzę, byś znalazł "literaturę do indukcji". To jest w sumie prosta sprawa, jak już zrozumiesz.
Może na początek przeczytaj sobie rozdział o indukcji z mojego podręcznika?
Po co Ci \(\displaystyle{ n}\) zbiorów? Masz pokazać, że rodzina jest zamknięta na sumowaniu dwóch zbiorów. No to weź te dwa i dopisz puste, albo powtarzaj drugi zbiór.
JK