Miara wewnętrzna Lebesgue'a

[MrCommando]

Może trochę głupie mam przemyślenia, ale uznałem, że zapytam, bo od pewnego czasu nie daje mi to spokoju, a zależy mi żeby ten temat dobrze zrozumieć. Ostatnio zastanawiam się nad pojęciem wewnętrznej miary Lebesgue'a. Zauważyłem, że praktycznie we wszystkich książkach i skryptach jakie widziałem (i na wykładzie też) konstruuje się miarę Lebesgue'a w oparciu o miarę zewnętrzną i nie ma nigdzie słowa o mierze wewnętrznej. Wygląda to tak jakby miara wewnętrzna była zupełnie tutaj nieistotna. I zacząłem się zastanawiać, czy można by analogicznie "wyprodukować" miarę Lebesgue'a za pomocą miary wewnętrznej, którą byśmy zdefiniowali analogicznie do wewnętrznej miary Jordana, czyli dla zbioru \(\displaystyle{ A}\) byłoby to supremum sum objętości przeliczalnych rodzin prostokątów o rozłącznych wnętrzach, takich że ich suma zawiera się w zbiorze \(\displaystyle{ A}\). Na wykładzie akurat dzisiaj skończyliśmy już konstrukcję miary Lebesgue'a i na koniec podana została definicja miary wewnętrznej, ale wygląda zupełnie inaczej niż taka jaką zaproponowałem, czyli:

\(\displaystyle{ \lambda_{*} (A) =\sup\left\{\lambda(K): K \subset A \mbox{ oraz }K\mbox{ jest zbiorem zwartym }\right\}}\)

dla \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^n}\).

Nie wnikaliśmy jednak zbyt szczególnie w tą definicję, jedynie padło stwierdzenie, że zbiór jest mierzalny, gdy równa jest jego miara zewnętrzna i wewnętrzna. Jednak zastanawiam się, czy koniecznie musimy przybliżać miarę zbioru z dołu zbiorami zwartymi - czy też może intuicja dobrze mi mówi i taka definicja byłaby równoważna temu, co napisałem na początku, i możemy po prostu liczyć supremum sum objętości prostokątów? A może w ogóle jestem w błędzie i z jakiegoś powodu nie da się "przerobić" w ten sposób wewnętrznej miary Jordana? Udowodniliśmy na wykładzie jakiś czas temu, że miarę zbioru otwartego możemy przybliżać z dołu sumami objętości kostek, ale nie zostało nazwane to miarą wewnętrzną.

[Dasio11]

Według Twojej definicji miara wewnętrzna zbioru \(\displaystyle{ [0, 1] \setminus \mathbb{Q}}\) wyniosłaby zero, a ten zbiór jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i jest miary jeden.

[MrCommando]

Według Twojej definicji miara wewnętrzna zbioru \(\displaystyle{ [0, 1] \setminus \mathbb{Q}}\) wyniosłaby zero, a ten zbiór jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i jest miary jeden.

Rzeczywiście, przeczuwałem, że właśnie taki haczyk może być i że taka definicja może być niepoprawna, ale nie mogłem znaleźć przykładu zbioru - zatem dzięki za rozwianie wątpliwości.