Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 519
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 98 razy

Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: MrCommando » 14 paź 2019, o 12:31

Proszę o sprawdzenie dwóch zadań oraz wskazówkę do trzeciego:

1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L>0}\). Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero.

Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}}\) będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{I_k\right\}_{k=1}^{\infty}}\) taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k \supset A}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\mbox{Vol}(I_k)<\frac{\varepsilon}{L}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right) \supset f(A)}\), a ponadto z własności obrazu \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} f(I_k)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) w oczywisty sposób jest ciągła, zatem obraz przedziału zawsze jest przedziałem. A to oznacza, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{f(I_k)\right\}_{k=1}^{\infty}}\) jest przeliczalną rodziną przedziałów pokrywającą zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\). Teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mbox{Vol}\left(f(I_k)\right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} L\cdot\mbox{Vol}(I_k)=L\cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon}\).
Zatem rzeczywiście miara zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) jest równa zero.

2. Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że miara wykresu tej funkcji wynosi zero.

Ustalmy przedział \(\displaystyle{ [a,b]\subset (0,1)}\). Pokażemy, że miara wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi zero. Przedział domknięty na prostej jest zbiorem zwartym, zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jako ciągła, jest na nim jednostajnie ciągła. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Wobec jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in[a,b]}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon}\), o ile tylko \(\displaystyle{ |x-y|\leq\delta}\). Niech teraz \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\delta}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ \left\{P_k\right\}}\) taką, że \(\displaystyle{ P_k=\left[a+(b-a)\frac{k-1}{n},a+(b-a)\frac{k}{n}\right] \times \left[f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)-\varepsilon,f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right]}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ G}\) oznaczymy wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), to \(\displaystyle{ G\subset \bigcup_{k=1}^n P_k}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\leq l_1(G)=l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right)\leq \sum_{k=1}^n l_1\left(P_k\right)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot 2\varepsilon=2\varepsilon.}\)
Przechodząc teraz z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ l_1(G)=0}\).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) i że wobec powyższego wykres funkcji na każdym przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) ma miarę zero, z czego wynika już teza.

3. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) będzie funkcją ciągłą i niech obraz każdego zbioru miary zero będzie zbiorem miary zero. Pokazać, że obraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym.

Tutaj próbowałem z kilku różnych warunków mierzalności skorzystać i z dwóch równoważnych definicji ciągłości, ale niestety bez skutku :(

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 123 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: Slup » 14 paź 2019, o 13:54

Odnośnie zad. 3. Pokaż. że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A = B\cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych i \(\displaystyle{ Z}\) jest zbiorem miary Lebesgue'a zero. Co wiesz o obrazach zbiorów zwartych przy odwzorowaniach ciągłych?

Pozostałe zadania wyglądają na zrobione dobrze, ale nie przyglądałem się im bardzo dokładnie.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 519
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 98 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: MrCommando » 14 paź 2019, o 14:53

Dzięki za odpowiedź. Ze zwartością co prawda nie miałem bardzo do czynienia, bo dopiero zaczynam topologię (co najwyżej miałem do czynienia z banalnymi przypadkami w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), gdzie zbiór zwarty jest domknięty i ograniczony). Ale poszukałem trochę w internecie i znalazłem, że obraz zbioru zwartego w odwzorowaniu ciągłym jest zwarty.
Myślę tak na szybko, że można to pokazać na przykład w taki sposób:
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^m}\) będzie zbiorem zwartym. Rozważmy dowolne pokrycie zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi należącymi do pewnej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{U}}\) jest zbiorem otwartym jako suma zbiorów otwartych, a dzięki ciągłości \(\displaystyle{ f}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)}\) jest zbiorem otwartym. Ponadto \(\displaystyle{ f^{-1}\left(\bigcup \mathcal{U}\right)=\left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\). Zauważmy, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \left\{f^{-1}(U): U\in\mathcal{U}\right\}}\) są zbiorami otwartymi pokrywającymi \(\displaystyle{ A}\). Wobec zwartości \(\displaystyle{ A}\) istnieją \(\displaystyle{ U_1,\dots,U_n\in \mathcal{U}}\) takie że \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n f^{-1}(U_k)\supset A}\). Czyli \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^n U_k \supset \bigcup_{k=1}^n f(f^{-1}(U_k)) \supset f(A)}\). Zatem z dowolnego pokrycia zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) zbiorami otwartymi można wydobyć podpokrycie skończone - czyli jest to zbiór zwarty.

Mam nadzieję, że się nigdzie tutaj nie walnąłem, bo akurat pisałem to bardzo na szybko i różnie mogło być. Wieczorem spróbuję udowodnić ten fakt, o którym mówisz i pokażę co wyszło. Łącząc go z tym co wyżej wskazałem, mielibyśmy już tezę praktycznie od razu. Jednak nie wiem jak mi to wyjdzie, bo ze zwartością jeszcze się nie zaprzyjaźniłem - czy widzisz może jeszcze inne podejście?

Jeszcze do zadania 2: literówka się wkradła i powinno w jednym miejscu być \(\displaystyle{ l_1(G)\leq l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right) }\), a zauważyłem, że przez pomyłkę napisałem znak równości.

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 123 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: Slup » 14 paź 2019, o 15:19

Twój dowód jest poprawny i w dodatku bez zmian przenosi się na ogólne przestrzenie topologiczne.

W dowodzie tej charakteryzacji zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a możesz użyć faktu, że w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 519
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 98 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: MrCommando » 14 paź 2019, o 20:39

No dobrze, spróbujmy zatem. Implikacja w jedną stronę wygląda dość prosto:

Załóżmy, że dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^n}\) zachodzi \(\displaystyle{ A=B\cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalną sumą zbiorów zwartych, a \(\displaystyle{ Z}\) zbiorem miary Lebesgue'a zero. Zbiór zwarty jest w szczególności domknięty, a zatem mierzalny. Suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ B}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. No i z tego samego powodu zbiór \(\displaystyle{ B\cup Z=A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a. Tutaj poszło dość prosto.

Spróbujmy w drugą stronę. Wiem, że jednym z równoważnych warunków mierzalności zbioru \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n}\) jest istnienie zbioru \(\displaystyle{ F}\) typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) (czyli takiego, który jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych) takiego, że \(\displaystyle{ A\supset F}\) oraz \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\) (tutaj \(\displaystyle{ l_n^*}\) to miara zewnętrzna).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A\subset\mathbb{R}^n}\) jest mierzalny. Wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ F\subset A}\) taki, że \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n}\) dla pewnych zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_n}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), dla którego \(\displaystyle{ l_n^*(A\setminus F)=0}\). Zbiory domknięte są mierzalne, a suma zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym, zatem \(\displaystyle{ F}\) jest mierzalny, a więc i \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest mierzalny. Zatem możemy zapisać, że \(\displaystyle{ A=A\setminus F \cup F}\), przy czym zbiór \(\displaystyle{ A\setminus F}\) jest miary Lebesgue'a zero, a zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Problem polega na tym, że właśnie sumą zbiorów domkniętych, a nie zwartych. Dobrze by było jeszcze mieć skądś ograniczoność. Gdyby \(\displaystyle{ A}\) był ograniczony, to również każdy \(\displaystyle{ F_n}\) byłby ograniczony, zatem także zwarty. Jak na to zaradzić?

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 123 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: Slup » 15 paź 2019, o 07:41

Zastanów się, czy potrafisz zapisać \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych. Alternatywnie możesz też pokazać, że każdy zbiór mierzalny jest sumą przeliczalną zbiorów mierzalnych i ograniczonych.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 519
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 98 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: MrCommando » 15 paź 2019, o 09:50

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n=\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k}\), gdzie \(\displaystyle{ P_k=\prod_{m=1}^n [-k,k]}\). Czyli \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest przeliczalną sumą takiego wstępującego ciągu kostek. Te kostki oczywiście są zwarte. To może jakoś tak?

\(\displaystyle{ F=\bigcup_{k=1}^{\infty} F \cap P_k}\). Tak oto zapisaliśmy \(\displaystyle{ F}\) jako przeliczalną sumę zbiorów zwartych. Dobrze?

Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 123 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: Slup » 15 paź 2019, o 10:01

Pierwsza część dobrze. Druga prawie, bo zbiory \(\displaystyle{ F\cap P_k}\) nie są zwarte, ale zbiory \(\displaystyle{ F_n\cap P_k}\) juz są (używam oznaczeń z Twoich wcześniejszych wpisów).

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 519
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 98 razy

Re: Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru

Post autor: MrCommando » 15 paź 2019, o 14:12

No tak, w końcu \(\displaystyle{ F}\) w żadnym razie nie musi być domknięty. Więc ostatecznie \(\displaystyle{ F=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} F_n\cap P_k}\).

ODPOWIEDZ