Zbiory Borelowskie

[Benny01]

Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że:
\(\displaystyle{ a)}\) każdy przekrój zbioru borelowskiego w \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest zbiorem borelowskim
\(\displaystyle{ b)}\) algebra \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)}\) jest generowana przez klasę \(\displaystyle{ K}\) wszystkich iloczynów kartezjańskich zbiorów otwartych, tj. \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)=A(K)}\)
\(\displaystyle{ c)}\) gdy przestrzenie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są ośrodkowe, to \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)=B(X \times Y)}\)

Skoro są to przestrzenie metryczne to każdy zbiór otwarty możemy zapisać jako pewne kule. Czy aby udowodnić podpunkt \(\displaystyle{ a)}\) wygodniej będzie się posługiwać właśnie kulami? Czy wiem, że \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest zbiorem borelowskim? Jak to pokazać?

[Dasio11]

Nie napisałeś, czym jest \(\displaystyle{ B(X)}\) - rodziną borelowskich podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) ?

(a) Co to jest przekrój zbioru borelowskiego?
(b) \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)}\) nie jest algebrą, bo składa się z par uporządkowanych, a nie z podzbiorów jakiejkolwiek przestrzeni. Nawet jeśli przyjąć nieformalną konwencję, że \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)}\) oznacza \(\displaystyle{ \{ A \times B : A \in B(X), B \in B(Y) \}}\), to i tak nie jest to algebra, bo nie jest zamknięta na sumy (wyłączając trywialny przypadek gdy \(\displaystyle{ X}\) lub \(\displaystyle{ Y}\) jest pusta lub jednopunktowa).
(c) Podobnie jak w (b), ta równość zazwyczaj jest nieprawdziwa, bo \(\displaystyle{ B(X \times Y)}\) jest algebrą a \(\displaystyle{ B(X) \times B(Y)}\) nie.

[Benny01]

\(\displaystyle{ B(X)}\) to sigma alebra generowana przez zbiory otwarte(domknięte) tzw. algebra Borela.
Może przyda się taki fakt z innego zadania, które też nie wiem jak pokazać.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie sigma algebrą w \(\displaystyle{ X}\), natomiast \(\displaystyle{ B}\) sigma algebrą w \(\displaystyle{ Y}\). Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ C \in A \times B}\), to:
\(\displaystyle{ C_{x}:=\left\{ y \in Y:(x,y) \in C\right\} \in B }\), \(\displaystyle{ C^{y}:=\left\{ x \in X: (x,y) \in C\right\} \in A }\)

Zbiory \(\displaystyle{ C_{x}}\) oraz \(\displaystyle{ C^{y}}\) nazywamy przekrojami zbioru \(\displaystyle{ C}\).

[krl]

Najpewniej, dla \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr \(\displaystyle{ A\subseteq{\cal P}(X)}\) i \(\displaystyle{ B\subseteq{\cal P}(Y)}\), \(\displaystyle{ A\times B}\) oznacza \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę podzbiorów \(\displaystyle{ X\times Y}\) generowaną przez produkty \(\displaystyle{ U\times V,U\in A,V\in B}\). Czasami oznacza się ją przez \(\displaystyle{ A\otimes B}\), ale oznaczenie \(\displaystyle{ A\times B}\) też ma sens, bo jest to produkt w odpowiedniej kategorii.
To, co nazywasz przekrojami zbioru \(\displaystyle{ C\subseteq X\times Y}\), zazwyczaj nazywa się cięciami (poziomymi i pionowymi) zbioru \(\displaystyle{ C}\).
Mam wrażenie, że zadania, o które pytasz, są w tym momencie dla Ciebie za trudne. Nie rozumiesz podstawowych definicji...

Np. pytanie, czy \(\displaystyle{ X\times Y}\) jest borelowski, o tym świadczy. Właśnie, zastanów się, czy \(\displaystyle{ X\times Y}\) jest borelowski? Skorzystaj z definicji zbioru borelowskiego.

W punkcie (a) pytasz się, czy wygodniej jest posługiwać się kulami. Pytanie nie jest jednoznaczne, gdyż kule zależą od metryki, a w produkcie \(\displaystyle{ X\times Y}\) przestrzeni metrycznych metrykę produktową można zadawać na wiele sposobów (prowadzących do tej samej topologii). Niezależnie od tego odpowiedź na Twoje pytanie jest negatywna.

By rozwiązać zadania, o które pytasz, musisz najpierw zrozumieć, co to są zbiory borelowskie. Trochę lepiej, niż na poziomie recytowania definicji.
Zbiory borelowskie można rozumieć w sposób "efektywny" (konstruując je wszystkie explicite poprzez indukcję pozaskończoną długości \(\displaystyle{ \omega_1}\), tak jak w dowolnym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele generowanym z danej rodziny zbiorów). To jest dość trudny sposób.
Lepiej korzystać z opisu nieefektywnego (najmniejsze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało itd.).
Jeżeli chcesz np. pokazać, że zbiory borelowskie w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) mają własność \(\displaystyle{ W}\), to w podejściu nieefektywnym znajdujesz najpierw \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało \(\displaystyle{ S}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) takie, że każdy jego element ma własność \(\displaystyle{ W}\) oraz każdy zbiór otwarty w \(\displaystyle{ X}\) należy do \(\displaystyle{ S}\). Z (nieefektywnej) definicji \(\displaystyle{ B(X)}\) wnioskujesz, że \(\displaystyle{ B(X)\subseteq S}\), więc każdy zbiór borelowski w \(\displaystyle{ X}\) ma własność \(\displaystyle{ W}\). To jest ogólny schemat. Możesz go zastosować do swoich zadań...

[Dasio11]

Najpewniej, dla \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr \(\displaystyle{ A\subseteq{\cal P}(X)}\) i \(\displaystyle{ B\subseteq{\cal P}(Y)}\), \(\displaystyle{ A\times B}\) oznacza \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę podzbiorów \(\displaystyle{ X\times Y}\) generowaną przez produkty \(\displaystyle{ U\times V,U\in A,V\in B}\). Czasami oznacza się ją przez \(\displaystyle{ A\otimes B}\), ale oznaczenie \(\displaystyle{ A\times B}\) też ma sens, bo jest to produkt w odpowiedniej kategorii.

W jakiej?

[krl]

No, odpowiedniej. Np. w kategorii dualnej do kategorii \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr z morfizmami: homomorfizmami \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr.

[Dasio11]

w kategorii dualnej

To trzeba było od razu uczciwie przyznać, że ta \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra jest koproduktem, a nie żadnym tam produktem.