miara, miara Lebesgue'a

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

miara, miara Lebesgue'a

Post autor: degel123 » 14 paź 2019, o 10:37

Hej proszę o sprawdzenie dwóch zadanek.

Zad.1. \(\displaystyle{ (a_n)}\)- dowolny ciąg liczb nieujemnych oraz \(\displaystyle{ \mu :2^{\mathbb{N}}\to \mathbb{R}}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu(A)=\sum_{n \in A}a_n}\). Mam pokazac ze \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) Robię tak:
1) \(\displaystyle{ \mu(A) \ge 0}\) - oczywiste
2) \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\) - też oczywiste
3) \(\displaystyle{ \mu(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n\in A_1 \cup A_2\cup...}a_n=\sum_{n\in A_1}a_n+\sum_{n\in A_2}a_n+...=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)}\) bo zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne. Zadanie bardzo proste ale chciałbym się upewnić czy jest ok.

Zad.2. Wyznaczyć standardową miarę Lebesgue'a następujących zbiorów:
1) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y)\in\mathbb R^2: a\le x\le b, 0\le y\le f(x)\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ f\in C[a,b], f(x)\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\)
Wystarczy wziąć całke podwojna po podanym obszarze normalnym?
2) \(\displaystyle{ B=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2\le 1 \right\} }\)
wyjdzie po prostu \(\displaystyle{ \pi}\)?
3) \(\displaystyle{ C=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x^2+y^2\le 1 \right\} \setminus (\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}) }\)
Tutaj tak samo \(\displaystyle{ \pi}\) bo odejmujemy zbiór miary zero?
4) \(\displaystyle{ D=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2:0\le x \le 2, -1\le y \le 1, \sin \pi(x+y)<\frac{1}{2}, \cos \pi(x+y)\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right\} }\)
Tutaj wystarczy rozpisać warunek na tego sinusa? Czy z cosinusem trzeba coś robić skoro miara liczb niewymiernych jest miarą pełną?
5) \(\displaystyle{ E=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x+y+z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x+y+z<1 \right\} }\)
Tutaj to samo czy warunkiem \(\displaystyle{ x+y+z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}\) trzeba sie przejmowac?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 10:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Więcej szacunku dla Lebesgue'a. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8606
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1809 razy

Re: miara, miara Lebesgue'a

Post autor: Dasio11 » 14 paź 2019, o 20:10

degel123 pisze:
14 paź 2019, o 10:37
3) \(\displaystyle{ \mu(\sum_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n\in A_1 \cup A_2\cup...}a_n=\sum_{n\in A_1}a_n+\sum_{n\in A_2}a_n+...=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)}\) bo zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne.
Trudno jednoznacznie odczytać intencję autora zadania, ale druga równość może wymagać dowodu, bo to jedyny nieoczywisty element w tym zadaniu.
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 10:37
Zad.2.
1) \(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y)\in\mathbb R^2: a\le x\le b, 0\le y\le f(x)\right\} }\) gdzie \(\displaystyle{ f\in C[a,b], f(x)\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\)
Wystarczy wziąć całke podwojna po podanym obszarze normalnym?
Nie, raczej chodzi o przedstawienie wyniku w prostszej postaci.

2) Tak.
3) Tak.

4)
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 10:37
Tutaj wystarczy rozpisać warunek na tego sinusa?
Mało precyzyjne pytanie, ale zasadniczo - tak.
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 10:37
Czy z cosinusem trzeba coś robić skoro miara liczb niewymiernych jest miarą pełną?
Trzeba: uzasadnić, że ten warunek nie wpływa na miarę zbioru.

5)
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 10:37
Tutaj to samo czy warunkiem \(\displaystyle{ x+y+z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}\) trzeba sie przejmowac?
Znów: należy udowodnić, że ten warunek nie zmienia miary.

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: miara, miara Lebesgue'a

Post autor: degel123 » 14 paź 2019, o 20:46

Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 20:10
Trudno jednoznacznie odczytać intencję autora zadania, ale druga równość może wymagać dowodu, bo to jedyny nieoczywisty element w tym zadaniu.
No tutaj praktycznie korzystamy tylko z tego że zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne i są podzbiorami zbioru liczb naturalnych czyli taka równość zachodzi.
Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 20:10
Nie, raczej chodzi o przedstawienie wyniku w prostszej postaci.
W prostszej mając tylko podane dane chyba się nie da?
Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 20:10
Mało precyzyjne pytanie, ale zasadniczo - tak.
Tutaj bedzie trzeba rozpatrywac przypadki? Bo sinus jest rosnacy na \(\displaystyle{ \left[ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\) a zakresy \(\displaystyle{ x,y}\) są wieksze.
Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 20:10
Trzeba: uzasadnić, że ten warunek nie wpływa na miarę zbioru.
Jak to zrobić? Wystarczy komentarz że zbiór liczb niewymiernych ma miarę pełną bo jego dopełnienie ma miarę 0?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 20:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8606
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1809 razy

Re: miara, miara Lebesgue'a

Post autor: Dasio11 » 14 paź 2019, o 22:06

degel123 pisze:
14 paź 2019, o 20:46
No tutaj praktycznie korzystamy tylko z tego że zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne i są podzbiorami zbioru liczb naturalnych czyli taka równość zachodzi.
Skorzystałeś z dość mocnego faktu: jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots}\) są rozłącznymi podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ \left< a_n \right>_{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem nieujemnych liczb rzeczywistych, to

\(\displaystyle{ \sum_{n \in A} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n \in A_k} a_n}\),

gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_k}\).

Ten fakt nie jest oczywisty sam przez się, tylko zwyczajnie się go dowodzi w oparciu o definicję sumy szeregu. Ale powtórzę - niewykluczone, że intencją zadania nie było wykazywanie tego faktu, tylko powołanie się nań.
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 20:46
W prostszej mając tylko podane dane chyba się nie da?
Może to kwestia gustu, ale według mnie tak byłoby prościej:

\(\displaystyle{ \int \limits_a^b f(x) \, \text{d} x}\).
degel123 pisze:
14 paź 2019, o 20:46
Tutaj bedzie trzeba rozpatrywac przypadki? Bo sinus jest rosnacy na \(\displaystyle{ \left[ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\) a zakresy \(\displaystyle{ x,y}\) są wieksze.
Najlepiej chyba rozwiązać to graficznie: wypisać takie liczby \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ \sin( \pi r ) = \frac{1}{2}}\), a następnie podzielić dany kwadrat na ukośne paski prostymi o równaniach \(\displaystyle{ x+y = r}\) dla wszystkich tych wartości \(\displaystyle{ r}\). Paski na zmianę będą zawarte w \(\displaystyle{ D}\) i w jego dopełnieniu, więc wystarczy zsumować pola tych pasków które zawierają się w \(\displaystyle{ D}\).

degel123 pisze:
14 paź 2019, o 20:46
Jak to zrobić? Wystarczy komentarz że zbiór liczb niewymiernych ma miarę pełną bo jego dopełnienie ma miarę 0?
Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru \(\displaystyle{ D}\), który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: miara, miara Lebesgue'a

Post autor: degel123 » 14 paź 2019, o 23:22

Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 22:06
Skorzystałeś z dość mocnego faktu...
Tutaj mamy miarę więc zakładamy że \(\displaystyle{ a_n\ge 0}\) ale generalnie żeby rozbić tę sumę to chyba wystarczy że same zbiory są rozłączne co nie? Nie musi być założenia o nieujemności wyrazów czy się mylę?
Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 22:06
Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru
\(\displaystyle{ D}\)
, który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.
Aha to nie bardzo wiem jak to wytłumaczyć. Myślałem że warunek z cosinusem można wytłumaczyć podobnie jak tutaj viewtopic.php?t=357325, tylko tam był po prostu zbiór liczb niewymiernych a tutaj mamy konkretny warunek.

Dodano po 23 godzinach 20 minutach 17 sekundach:
Dasio11 pisze:
14 paź 2019, o 22:06
Nie - a dlaczego miałby wystarczyć? Przecież nie pytają Cię o miarę zbioru liczb wymiernych, tylko o miarę zbioru
D
D, który w definicję ma tylko wpleciony w pewien tajemniczy sposób zbiór liczb (nie)wymiernych. Twoją rolą jest wyjaśnić, dlaczego ten element definicji nie wpływa na miarę.
Mógłbyś powiedzieć jak to trzeba wytłumaczyć? Slownie czy trzeba to jakoś rozpisać?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 23:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieujemności.

ODPOWIEDZ