Miara Diraca

[math196]

Czy potrafił by ktoś udowodnić takie zadanie ???
Niech \(\displaystyle{ X \neq\emptyset}\). Wykazać , że:
1) miara Diraca na \(\displaystyle{ X}\) jest zawsze \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona,
2) miara licząca \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ X }\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona pod warunkiem, że \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem przeliczlanym.

[janusz47]

1)
Korzystamy z definicji miary Diraca skupionej w \(\displaystyle{ \omega }\)

\(\displaystyle{ \delta_{\omega}(X) = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{gdy} \ \ \omega \in X \\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ \omega \notin X \end{cases} }\)

i rozpatrujemy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ (i) \ \ \omega \notin \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} ,}\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ \omega \in \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} .}\)

dla \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., \ \ X_{i} \cap X_{j} = \emptyset, \ \ i\neq j. }\)

[Dasio11]

i rozpatrujemy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ (i) \ \ \omega \notin \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} ,}\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ \omega \in \bigcup_{i=1}^{\infty} X_{i} .}\)

dla \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}, ..., \ \ X_{i} \cap X_{j} = \emptyset, \ \ i\neq j. }\)

A w jakim celu rozpatrywać te przypadki?

[math196]

Dasio11 masz może inny pomysł na to zadanie ?

[Dasio11]

Trudno poradzić cokolwiek więcej niż żebyś zrozumiał pojęcia występujące w treści, bo wtedy zadanie robi się praktycznie natychmiast.

Miara jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona, jeśli przestrzeń można zapisać w postaci przeliczalnej sumy zbiorów miary skończonej. Jeśli nie widzisz, jak to zrobić w obu podpunktach, to znajdź kilka rozkładów przestrzeni na przeliczalną sumę podzbiorów i zbadaj, czy miary tych podzbiorów są skończone.