Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 7 paź 2019, o 21:51

Ostatnio rozwiązywałem kilka zadań z teorii miary, a z racji że dopiero co zaczynam zabawę z tymi rzeczami, to nie czuję się zbytnio pewnie. Proszę o sprawdzenie, czy pierwsze dwa zadania są zrobione poprawnie (i pomoc w razie ewentualnych błędów) oraz o podpowiedź do trzeciego.

1. Czy istnieje przeliczalne \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało?

Ustalmy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) jest przeliczalnym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem zawierającym pewne podzbiory \(\displaystyle{ X}\). Wobec tego istnieje przeliczalna rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots \in \mathcal{M}}\). Zdefiniujmy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots \in \mathcal{M}}\) taką, że \(\displaystyle{ X_1=A_1}\) oraz \(\displaystyle{ X_n=A_n\setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\). Zbiory \(\displaystyle{ X_i}\) są oczywiście rozłączne. Rozważmy teraz następującą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{F} \subset \mathcal{M}}\) zdefiniowaną następująco:
\(\displaystyle{ \mathcal{F}=\left\{\bigcup_{k\in P} X_k : P \subset \mathbb{N}\right\}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f: 2^{\mathbb{N}}\rightarrow \mathcal{F}}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(P)=\bigcup_{k \in P} X_k}\) dla każdego \(\displaystyle{ P \in 2^{\mathbb{N}}}\) jest bijekcją, zatem \(\displaystyle{ \left|\mathcal{M}\right|\geq \left|\mathcal{F}\right| = \left|2^{\mathbb{N}}\right|=\mathfrak{c}}\), co oznacza sprzeczność z założeniem o tym, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) jest przeliczalna.




2. Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}^n}\) będzie zbiorem przeliczalnym. Pokazać, że \(\displaystyle{ l_n\left(A\right)=0}\) (tutaj \(\displaystyle{ l_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-wymiarową miarę Lebesgue'a).

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x=\left(x_1,\dots,x_n\right)\in A}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Pokażemy, że istnieje pokrycie zbioru \(\displaystyle{ \left\{x\right\}}\) przeliczalną rodziną prostokątów \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowych, których suma objętości jest mniejsza od \(\displaystyle{ \epsilon}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ P_m=\prod_{k=1}^n \left(x-\sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^{m+n+1}}},x+\sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^{m+n+1}}}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ m=1,2,\dots}\). Teraz dla dowolnego \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ \mbox{Vol}\left(P_m\right)=\left(2\cdot\sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^{m+n+1}}}\right)^n=\frac{\epsilon}{2^{m+1}}}\).
Teraz \(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty} \mbox{Vol}\left(P_m\right)=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^{m+1}}=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon}\). Zatem \(\displaystyle{ l_n\left(\left\{x\right\}\right)=0}\).
Dzięki przeliczalnej addytywności miary Lebesgue'a otrzymujemy \(\displaystyle{ l_n(A)=l_n\left(\bigcup_{x\in A} \left\{x\right\}\right)=\sum_{x \in A} l_n\left(\left\{x\right\}\right)=0}\).




3. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\). Pokazać, że zbiór punktów ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiorem typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\).

Mam podane, że zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) to taki, który jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych. I jest wskazówka, aby wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R}^n}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x_0)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x)=\lim_{r\to 0^+} \mbox{diam} f\left(B\left(x,r\right)\right)}\).

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R}^n}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla \(\displaystyle{ x\in B\left(x_0,\delta\right)}\) mamy \(\displaystyle{ f\left(B\left(x_0,\delta\right)\right) \subset B\left(f(x_0),\epsilon\right)}\). Weźmy dowolne \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mbox{diam}f\left(B\left(x_0,r)\right)\right) \leq \mbox{diam}f\left(B\left(x_0,\delta\right)\right) \leq \mbox{diam}B\left(f(x_0),\epsilon\right)\leq \epsilon}\). Zatem \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x_0)=\lim_{r \to 0^+} \mbox{diam} f\left(B\left(x_0,r\right)\right)=0}\).

W drugą stronę, załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{r\to 0^+} \mbox{diam}f\left(B(x_0,r)\right)=0}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mbox{diam}f\left(B(x_0,r)\right)\leq \epsilon}\). Ustalmy zatem \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in B(x_0,r)}\) zachodzi zatem \(\displaystyle{ \left|\left|f(x_0)-f(x)\right|\right| \leq \mbox{diam}f\left(B(x_0,r)\right)\leq \epsilon}\). Zatem \(\displaystyle{ f(x) \in B(f(x),\epsilon)}\) i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\).

Średnio widzę jednak jak to powiązać z samym zadaniem. Najpierw miałem pomysł, żeby pokryć z osobna każdy punkt ciągłości zstępującą rodziną zbiorów otwartych, a potem wziąć przekrój wszystkich tych pokryć. Jednak okazało się, że to nie wyjdzie i szukam innej metody.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 7 paź 2019, o 22:59

1. Pomysł dobry, ale funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie będzie bijekcją jeśli nie zagwarantujesz, że zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) są niepuste.

2.
MrCommando pisze:
7 paź 2019, o 21:51
Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ P_m=\prod_{k=1}^n \left(x-\sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^{m+n+1}}},x+\sqrt[n]{\frac{\epsilon}{2^{m+n+1}}}\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ m=1,2,\dots}\).
Zamiast \(\displaystyle{ x}\) powinno być \(\displaystyle{ x_k}\). Reszta dobrze, ale skoro przykrywasz pojedynczy punkt, to nie łatwiej przykryć go pojedynczym prostokątem o małej objętości?

3. Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) zbiór \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), takich że \(\displaystyle{ \mathrm{osc}_f(x) < \varepsilon}\), jest otwarty.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 8 paź 2019, o 00:00

1. To fakt. Czy da się jakoś to poprawić? Bo tak naprawdę te zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) mogą być w najróżniejszych relacjach i nie mam pomysłu jak to zrobić.

2. Z tym \(\displaystyle{ x_k}\) to literówka oczywiście. Czy masz na myśli prostokąt typu \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^n (x_k-\epsilon, x_k+\epsilon)}\)? Myślałem, że zgodnie z definicją miary Lebesgue'a musimy pokryć ten punkt przeliczalną liczbą otwartych kostek \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowych, takich, żeby suma ich objętości była bardzo mała, a nie po prostu jednym.

3. Dzięki, jutro po południu pewnie siądę do tego i pokażę swój dowód tego faktu. Rozumiem, że już potem sprawa praktycznie załatwiona, bo wtedy dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) tych \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x)<\frac{1}{n}}\) jest otwarty. Bierzemy część wspólną \(\displaystyle{ A_n}\) i to raczej tyle.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25099
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4183 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Jan Kraszewski » 8 paź 2019, o 01:09

MrCommando pisze:
8 paź 2019, o 00:00
Myślałem, że zgodnie z definicją miary Lebesgue'a musimy pokryć ten punkt przeliczalną liczbą otwartych kostek \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowych, takich, żeby suma ich objętości była bardzo mała, a nie po prostu jednym.
E tam. Jak uda Ci się pokryć jedną, to tym lepiej.

JK

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 8 paź 2019, o 08:50

A z czego by to wynikało? To znaczy dla mnie logiczne jest, że to "działa", ale jednak z definicji miary Lebesgue'a wynika, że bierzemy infimum po zbiorze przeliczalnych sum wszystkich pokryć. Poszukałem w sieci i nawet Wikipedia (wiem, że to niekoniecznie dobry autorytet) podchodzi do tego tak samo jak ja https://pl.m.wikipedia.org/wiki/Zbiór_miary_zero

Trochę mi się to kłóci z tym co wiem, bo na wykładzie dowodziliśmy, że miara zewnętrzna Lebesgue'a kostki jest równa jej objętości. A gdybyśmy mogli powiedzmy pokryć mierzony zbiór jedną kostką, to by to był chyba fakt dość oczywisty, bo wystarczy pokryć daną kostkę nią samą i już na pewno pokrycia o mniejszej objętości się nie znajdzie.

Chyba, że po prostu istnienie pokrycia zbioru jedną małą kostką implikuje istnienie zstępującego ciągu kostek (którego pierwsza kostka może być dowolnie mała), których suma pokrywa cały zbiór. Skoro dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) możemy pokryć nasz zbiór jednopunktowy kostką \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^n \left(x_k-\epsilon,x_k+\epsilon\right)}\), to przecież \(\displaystyle{ \epsilon}\) można dowolnie zmniejszać. W szczególności każda z kostek \(\displaystyle{ P_m=\prod_{k=1}^n \left(x_k-\frac{1}{m},x_k+\frac{1}{m}\right)}\) pokrywa rozważany zbiór oraz tworzą one ciąg zstępujący.
Teraz \(\displaystyle{ l_n\left(\left\{x\right\}\right)=l_n\left(\bigcap_{m=1}^{\infty} P_m \right)=\lim_{m\to\infty}l_n\left(P_m\right)=\lim_{m\to\infty}\left(\frac{2}{m}\right)^n=0}\)
z takiego lematu o mierze przekroju ciągu zstępującego.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 8 paź 2019, o 16:39

1. Da się poprawić - trzeba znaleźć sposób, żeby korzystając z nieskończoności \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała, wybrać nieskończenie wiele parami rozłącznych elementów.

Żeby było łatwiej, trochę teorii: niech \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) i niech \(\displaystyle{ B \in \mathcal{B}}\). Wtedy rodzina

\(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright B = \{ A \in \mathcal{B} : A \subseteq B \} = \{ C \cap B : C \in \mathcal{B} \}}\)

jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów \(\displaystyle{ B}\). Co więcej, \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright B}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright (X \setminus B)}\) całkowicie wyznaczają \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\).

2.
MrCommando pisze:
8 paź 2019, o 08:50
Trochę mi się to kłóci z tym co wiem, bo na wykładzie dowodziliśmy, że miara zewnętrzna Lebesgue'a kostki jest równa jej objętości. A gdybyśmy mogli powiedzmy pokryć mierzony zbiór jedną kostką, to by to był chyba fakt dość oczywisty, bo wystarczy pokryć daną kostkę nią samą i już na pewno pokrycia o mniejszej objętości się nie znajdzie.
Nie byłby oczywisty. Główna trudność tego dowodu polega na wykazaniu, że miara zewnętrzna kostki jest nie mniejsza od jej objętości, bo nierówność w drugą stronę jest trywialna niezależnie od tego, którą wersję definicji przyjmiemy.

Aby wykazać, że definicje

\(\displaystyle{ \mu^*(A) = \inf \left\{ \sum_{i \in I} \mathrm{Vol}(P_i) : |I| = \aleph_0 \ \& \ A \subseteq \bigcup_{i \in I} P_i \right\} \\[1ex]\nu^*(A) = \inf \left\{ \sum_{i \in I} \mathrm{Vol}(P_i) : |I| \le \aleph_0 \ \& \ A \subseteq \bigcup_{i \in I} P_i \right\}}\)

są równoważne, wystarczy dla każdego \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}^n}\) wykazać, że \(\displaystyle{ \nu^*(A) = \mu^*(A)}\).

Nierówność \(\displaystyle{ \le}\) jest oczywista, bo \(\displaystyle{ \nu^*(A)}\) jest infimum większego zbioru. Aby uzyskać nierówność w drugą stronę, wystarczy wykazać, że dla dowolnego pokrycia \(\displaystyle{ \left< P_i : i \in I \right>}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\) prostokątami \(\displaystyle{ P_i}\), gdzie \(\displaystyle{ |I| \le \aleph_0}\), i dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje pokrycie \(\displaystyle{ \left< R_j : j \in J \right>}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdzie \(\displaystyle{ |J| = \aleph_0}\), takie że

\(\displaystyle{ \sum_{j \in J} \mathrm{Vol}(R_j) \le \sum_{i \in I} \mathrm{Vol}(P_i) + \varepsilon.}\)

A to jest proste: wystarczy do pokrycia \(\displaystyle{ \left< P_i : i \in I \right>}\) dołożyć przeliczalnie wiele prostokątów o łącznej objętości nieprzekraczającej \(\displaystyle{ \varepsilon}\).

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 8 paź 2019, o 22:10

Dzięki za odpowiedzi. Już późna godzina, ale spróbuję jeszcze powalczyć:

1. Widzę jak w taki sposób można wybrać dowolną skończoną rodzinę zbiorów rozłącznych (dokonujemy takich podziałów tyle razy ile chcemy, najpierw robimy tak jak zaproponowałeś, potem powtarzamy procedurę dla \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X\setminus B}\) i tak dalej, powiedzmy \(\displaystyle{ n}\) razy, a potem bierzemy sumy mnogościowe wszystkich tych \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał i tak otrzymujemy \(\displaystyle{ n}\) rozłącznych podzbiorów), ale z przeliczalną o wiele będzie gorzej - tego do końca nie widzę.

2. Skoro nie jest to oczywiste, to chyba w takim razie czegoś nadal nie łapię. Spróbujmy wykazać, że dla kostki \(\displaystyle{ P}\) mamy \(\displaystyle{ \mbox{Vol}\left(P\right)=\mbox{inf}\left\{\sum_{i\in I} \mbox{Vol}\left(P_i\right): \left|I\right| \leq \aleph_0, P \subseteq \bigcup_{i\in I} P_i\right\}}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Pokażemy, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ I\subseteq\mathbb{N}}\) oraz pokrycie danej kostki \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} P_i}\), takie że \(\displaystyle{ \sum_{i\in I} \mbox{Vol}\left(P_i\right) < \mbox{Vol}\left(P\right)+\epsilon}\).
Połóżmy totalnie na pałę \(\displaystyle{ I=\left\{1\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ P_1=P}\). Wtedy mamy takie jednoelementowe pokrycie kostki \(\displaystyle{ P}\) nią samą i się zgadza.
Co tutaj jest źle? Nie wykluczam, że może głupie pytanie, ale albo coś źle jeszcze rozumiem, albo jestem już trochę zmęczony i popełniam jakiś głupi błąd.

3. Tak jak pisałem wracam do tego zadania. Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{x: \mbox{osc}_f(x)<\epsilon\right\}}\) jest otwarty. Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x\in A}\). Pokażemy, że istnieje kula otwarta o środku w \(\displaystyle{ x}\) zawarta w \(\displaystyle{ A}\).
Z faktu, że \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x)<\epsilon}\) wynika, że \(\displaystyle{ g=\lim_{r\to 0^+} \mbox{diam}f\left(B\left(x,r\right)\right)<\epsilon}\). Zatem istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\) liczba \(\displaystyle{ \mbox{diam}f\left(B\left(x,r\right)\right)}\) różni się dowolnie mało od \(\displaystyle{ g}\), czyli w szczególności jest mniejsza od \(\displaystyle{ \epsilon}\). Ustalmy więc \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\) i rozważmy \(\displaystyle{ B(x,r)}\), czyli zbiór takich \(\displaystyle{ y}\), że \(\displaystyle{ \left|\left|x-y\right|\right|<r}\). Kula \(\displaystyle{ B(x,r)}\) jest zbiorem otwartym, więc dla dowolnego takiego \(\displaystyle{ y}\) istnieje \(\displaystyle{ \overline{r}>0}\) takie, że \(\displaystyle{ B(y,\overline{r})\subset B(x,r)}\). Stąd od razu wynika, że \(\displaystyle{ f\left(B\left(y,\overline{r}\right)\right) \subset f\left(B\left(x,r\right)\right)}\), czyli \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y) \leq \mbox{osc}_f(x) <\epsilon}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ y\in A}\), czyli \(\displaystyle{ B\left(x,r\right) \subset A}\), czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty.
Mam nadzieję, że się tu nie pomyliłem, ale nie wykluczam tego, bo to straszne dziubdzianie, a pora już późna i coraz gorzej mi się myśli.
I dalej to chyba trzeba po prostu zamiast \(\displaystyle{ \epsilon}\) rozważyć liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) tak jak pisałem wcześniej i po zadaniu.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 8 paź 2019, o 22:38

1. Ta procedura ma kilka wrażliwych szczegółów, więc musisz ją opisać dokładniej. Skąd bierzesz zbiór \(\displaystyle{ B}\)?

Jak już zadziała wybieranie skończenie wielu rozłącznych elementów, to do przeliczalnie wielu wystarczy mała modyfikacja.

2.
MrCommando pisze:
8 paź 2019, o 22:10
Spróbujmy wykazać, że dla kostki \(\displaystyle{ P}\) mamy \(\displaystyle{ \mbox{Vol}\left(P\right)=\mbox{inf}\left\{\sum_{i\in I} \mbox{Vol}\left(P_i\right): \left|I\right| \leq \aleph_0, P \subseteq \bigcup_{i\in I} P_i\right\}}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Pokażemy, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ I\subseteq\mathbb{N}}\) oraz pokrycie danej kostki \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} P_i}\), takie że \(\displaystyle{ \sum_{i\in I} \mbox{Vol}\left(P_i\right) < \mbox{Vol}\left(P\right)+\epsilon}\).
To dowodzi tylko nierówności w jedną stronę, a jak pisałem wcześniej, trudna jest ta druga nierówność.

3.
MrCommando pisze:
8 paź 2019, o 22:10
Stąd od razu wynika, że \(\displaystyle{ f\left(B\left(y,\overline{r}\right)\right) \subset f\left(B\left(x,r\right)\right)}\), czyli \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y) \leq \mbox{osc}_f(x) <\epsilon}\)
Takie wynikanie nie zachodzi, ale jesteś blisko.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 9 paź 2019, o 19:39

1. Na pewno zbiór \(\displaystyle{ B}\) (nazwę go już w sumie \(\displaystyle{ B_1}\)) nie będzie ani pusty, ani nie będzie stanowił całej przestrzeni. Może być dowolnym innym zbiorem. Rozważamy \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright B_1}\) (a w zasadzie jego sumę, czyli zbiór \(\displaystyle{ B_1}\)). Następnie powtórzmy ten sam krok dla \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X
\setminus B_1}\)
i weźmy dowolny niepusty zbiór nie będący też całą przestrzenią \(\displaystyle{ X\setminus B_1}\). Nazwijmy ten zbiór \(\displaystyle{ B_2}\) i rozważamy przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X\setminus \left(B_1 \cup B_2\right)}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ n\geq 2}\) zbiór \(\displaystyle{ B_n}\) będzie elementem \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X\setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B_k}\) różnym od zbioru pustego oraz od \(\displaystyle{ X\setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B_k}\).

2. Nie było tematu. Nie wiem dlaczego, ale ubzdurałem sobie wtedy coś bzdurnego, o czym dobrze wiadomo, że nie zachodzi. Usiadłem do tego znowu i wszystko teraz już jasne.

3. Skoro \(\displaystyle{ B(y,\overline{r}) \subset B(x,r)}\), to również \(\displaystyle{ f\left(B(y,\overline{r})\right) \subset f\left(B(x,r)\right)}\), czyli \(\displaystyle{ \mbox{diam} f\left(B(y,\overline{r})\right) \leq \mbox{diam}f\left(B(x,r)\right)<\epsilon}\). Gdyby przejść do granicy z \(\displaystyle{ r\to 0^+}\), to wtedy do zera dąży również \(\displaystyle{ \overline{r}}\), które jest zależne i mniejsze od \(\displaystyle{ r}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y)\leq \mbox{osc}_f(x) <\epsilon}\).

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 9 paź 2019, o 23:31

1. A skąd wiesz, że taki zbiór \(\displaystyle{ B_n}\) istnieje?

Dla przykładu, niech \(\displaystyle{ X = \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \mathcal{P}(\mathbb{N})}\) i powiedzmy, że jako \(\displaystyle{ B_1}\) wybrany został zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N} \setminus \{ 3 \}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright (X \setminus B_1) = \{ \varnothing, \{ 3 \} \}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem podzbiorów \(\displaystyle{ \{ 3 \}}\). Wtedy nie można wybrać \(\displaystyle{ B_2}\) w deklarowany przez Ciebie sposób.

3.
MrCommando pisze:
9 paź 2019, o 19:39
Gdyby przejść do granicy z \(\displaystyle{ r\to 0^+}\), to wtedy do zera dąży również \(\displaystyle{ \overline{r}}\), które jest zależne i mniejsze od \(\displaystyle{ r}\). Wtedy \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y)\leq \mbox{osc}_f(x) <\epsilon}\).
To wygląda mocno źle.

Żeby wykazać otwartość zbioru \(\displaystyle{ G = \{ x \in \mathbb{R} : \mathrm{osc}_f(x) < \varepsilon \}}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ x \in G}\) wskazałeś \(\displaystyle{ r > 0}\), takie że ma zajść \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq G}\). Żeby sprawdzić to zawieranie, ustaliłeś dowolne \(\displaystyle{ y \in B(x, r)}\) i sprawdzasz, że wtedy \(\displaystyle{ y \in G.}\) W związku z tym znalazłeś \(\displaystyle{ \overline{r} > 0}\), takie że \(\displaystyle{ B(y, \overline{r}) \subseteq B(x, r).}\) Do tego momentu wszystko jest w porządku.

Ale jeśli teraz przejdziesz do granicy z \(\displaystyle{ r \to 0^+}\), to \(\displaystyle{ r}\) stanie się tak małe, że \(\displaystyle{ y}\) znajdzie się poza kulą \(\displaystyle{ B(x, r)}\). Jak wtedy chcesz kontynuować dowód, że \(\displaystyle{ y \in G}\) ? Poza tym: wskazałeś \(\displaystyle{ r}\) jako liczbę, taką że rzekomo \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq G}\). Ta liczba musi więc pozostać ustalona aż do zakończenia dowodu deklaracji, że faktycznie zachodzi \(\displaystyle{ B(x, r) \subseteq G}\). Nie możesz teraz przejść z tą liczbą do granicy.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 10 paź 2019, o 19:36

1. Rzeczywiście, wydawało się, że to miało sens, ale teraz to się w ogóle zamotałem. Dobrze by było zagwarantować, że \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X \setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} B_k}\) będzie mieć więcej niż dwa elementy, bo wtedy zawsze będziemy mogli coś wybrać. Przychodzą mi do głowy tylko szczególne przypadki takich konstrukcji, na przykład kiedy startujemy od niepustego zbioru skończonego - tylko przecież nie ma gwarancji, że w ogólności mamy w \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele jakieś niepuste zbiory skończone, bo ta rodzina zbiorów może być najróżniejsza (czyli do niczego to nie prowadzi).

3. Racja, jak dzisiaj to przeczytałem, to sensu większego w tym nie znalazłem.

Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{r\to 0^+}\mbox{diam} f(B(y,r))<\epsilon}\). Mieliśmy \(\displaystyle{ B(y,\overline{r})\subset B(x,r)}\), zatem także \(\displaystyle{ f(B(y,\overline{r})) \subset f(B(x,r))}\). Teraz \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(y,\overline{r}))\leq\mbox{diam} f(B(x,r))}\). Powiedzieliśmy, że \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(x,r))}\) różni się dowolnie mało od swojej granicy, czyli jest w szczególności mniejsze od \(\displaystyle{ \epsilon}\). Zatem to samo tyczy się \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(y,\overline{r}))}\). I dzieje się tak dla wszystkich \(\displaystyle{ 0<r'<\overline{r}}\), bo im mniejszy promień tym mniejsza średnica. Zatem za deltę z definicji Cauchy'ego granicy przyjąć możemy \(\displaystyle{ \overline{r}}\).

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 10 paź 2019, o 20:01

1. No to kolejna podpowiedź: jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ B \in \mathcal{B}}\) oba \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright B}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright (X \setminus B)}\) są skończone, to \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest skończone. Przez kontrapozycję: jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest nieskończone, to każdy element \(\displaystyle{ B \in \mathcal{B}}\) dzieli przestrzeń na dwie części, takie że na przynajmniej jednej z nich indukowane \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało jest nieskończone.

3.
MrCommando pisze:
10 paź 2019, o 19:36
Powiedzieliśmy, że \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(x,r))}\) różni się dowolnie mało od swojej granicy, czyli jest w szczególności mniejsze od \(\displaystyle{ \epsilon}\).
Wcześniej napisałeś coś podobnego:
MrCommando pisze:
8 paź 2019, o 22:10
Z faktu, że \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x)<\epsilon}\) wynika, że \(\displaystyle{ g=\lim_{r\to 0^+} \mbox{diam}f\left(B\left(x,r\right)\right)<\epsilon}\). Zatem istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ 0<r<\delta}\) liczba \(\displaystyle{ \mbox{diam}f\left(B\left(x,r\right)\right)}\) różni się dowolnie mało od \(\displaystyle{ g}\), czyli w szczególności jest mniejsza od \(\displaystyle{ \epsilon}\).
i uznałem wtedy, że to tylko niezręczne sformułowanie. Teraz jednak mam wątpliwości, czy dobrze rozumiesz ten krok, więc na wszelki wypadek wyjaśniam: niekoniecznie jest prawdą, iż istnieje takie \(\displaystyle{ \delta > 0}\), że dla \(\displaystyle{ 0 < r < \delta}\) liczba \(\displaystyle{ \mathrm{diam} \, f(B(x, r))}\) różni się dowolnie mało od \(\displaystyle{ \mathrm{osc}_f(x)}\), bo dwie liczby różniące się o dowolnie małe są zwyczajnie równe. Za to prawdą jest, iż istnieje takie \(\displaystyle{ \delta > 0}\), że dla \(\displaystyle{ 0 < r < \delta}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathrm{diam} \, f(B(x, r)) < \varepsilon}\). Przyjmujemy tedy za \(\displaystyle{ r}\) dowolną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (0, \delta)}\), na przykład \(\displaystyle{ r = \frac{\delta}{2}}\), a wówczas mamy gwarancję, że zachodzi \(\displaystyle{ \mathrm{diam} \, f(B(x, r)) < \varepsilon}\).

MrCommando pisze:
10 paź 2019, o 19:36
Zatem za deltę z definicji Cauchy'ego granicy przyjąć możemy \(\displaystyle{ \overline{r}}\).
Reszta dowodu zmierza w dobrym kierunku, ale to sformułowanie budzi wątpliwości. W jakim celu wybierasz tę deltę?

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 10 paź 2019, o 22:15

1. No tak! Czyli wybierając zbiór \(\displaystyle{ B_2}\), bierzemy go z takiego z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright B_1}\), \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright X\setminus B_1}\), które jest nieskończone. Ten zbiór dzieli nasze nieskończone \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało na dwa kolejne, z których co najmniej jedno jest nieskończone - i to z niego wybierzemy zbiór \(\displaystyle{ B_3}\). I powtarzając taki proces uzyskamy skończoną rodzinę zbiorów rozłącznych.

3. Wydaje mi się, że definicję granicy funkcji to akurat rozumiem (chociaż może zaraz okaże się, że przez kilka lat żyłem w błędzie i jednak nie do końca :D). To sformułowanie z "dowolnie małym" faktycznie jest totalnie do bani i takie niedbałe. Napiszę ten dowód porządnie w takim razie od nowa, żeby wszystko było jasne:

Wykażemy, że dla każdego \(\displaystyle{ t>0}\) zbiór \(\displaystyle{ \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\) jest otwarty. Przede wszystkim zmieniłem z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) na \(\displaystyle{ t}\), bo skoro mamy korzystać z definicji granicy, to wolę symbol \(\displaystyle{ \varepsilon}\) zarezerwować dla promienia odpowiedniej kuli.

Ustalmy \(\displaystyle{ t>0}\). Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\). Pokażemy, że istnieje kula o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) zawarta w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\). Niech \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(x)=\lim_{r\to 0^+} \mbox{diam} f(B(x,r))=g<t}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) tak małe, aby \(\displaystyle{ g+\varepsilon<t}\). Istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ r \in \left(0,\delta\right)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(x,r)) \in \left(g-\varepsilon, g+\varepsilon\right)}\). Ustalmy zatem pewne \(\displaystyle{ r\in\left(0,\delta\right)}\) i rozważmy kulę \(\displaystyle{ B(x,r)}\). Pokażemy, że właśnie taka kula zawiera się w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\). Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ y\in B(x,r)}\). Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ y\in \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\). W tym celu pokażemy, że \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y)<t}\).

Skoro zbiór \(\displaystyle{ B(x,r)}\) jest otwarty (jako kula otwarta), to istnieje \(\displaystyle{ \overline{r}>0}\), takie, że \(\displaystyle{ B(y,\overline{r}) \subset B(x,r)}\). Zachodzi zatem \(\displaystyle{ f(B(y,\overline{r})) \subset f(B(x,r))}\), czyli \(\displaystyle{ \mbox{diam}f(B(y,\overline{r}))\leq \mbox{diam} f(B(x,r))}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \mbox{diam} f(B(y,\overline{r})) <g+\varepsilon}\). Ponadto dla wszystkich promieni \(\displaystyle{ r'}\) mniejszych od \(\displaystyle{ \overline{r}}\) mamy \(\displaystyle{ B(y,r')\subset B(y,\overline{r})}\), więc jeżeli w ostatniej nierówności przejdziemy do granicy przy \(\displaystyle{ \overline{r}\to 0^+}\), to nic się nie powinno zepsuć tak jak wtedy. Wówczas \(\displaystyle{ \lim_{\overline{r}\to 0^+} \mbox{diam} f(B(y,\overline{r})) \leq g+\varepsilon}\). Ale dobraliśmy takie \(\displaystyle{ \varepsilon}\), aby zachodziło \(\displaystyle{ g+\varepsilon<t}\), zatem \(\displaystyle{ \mbox{osc}_f(y)<t}\), czyli \(\displaystyle{ y\in \left\{a \in \mathbb{R}: \mbox{osc}_f(a)<t\right\}}\). Mam nadzieję, że tym razem się nie pomyliłem.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8524
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1781 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: Dasio11 » 10 paź 2019, o 23:36

1. Zgadza się, tylko oczywiście otrzymane zbiory rozłączne to niekoniecznie \(\displaystyle{ B_1, \ldots, B_n}\), chyba że na każdym kroku - kosztem ewentualnej zamiany \(\displaystyle{ B_i}\) na \(\displaystyle{ X \setminus B_i}\) - założymy, że nieskończonym \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem jest \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright (X \setminus B_i)}\). I oczywiście: fakt, że możemy wybrać z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \mathcal{B} \upharpoonright (X \setminus B_i)}\) niepusty, właściwy podzbiór \(\displaystyle{ X \setminus B_i}\) wynika z nieskończoności tegoż \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała, i z tego względu tę nieskończoność staramy się na każdym kroku zachować.

Pozostaje zauważyć, że powyższą procedurę można prowadzić w nieskończoność, otrzymując nieskończony ciąg parami rozłącznych elementów \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\).

3. Teraz jest wzorowo.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 502
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 95 razy

Re: Kilka zadań z teorii miary - sprawdzenie poprawności i wskazówki

Post autor: MrCommando » 13 paź 2019, o 19:24

Super, dziękuję zatem za pomoc. Coraz bardziej zaczynam to "czuć" i zadania lepiej wychodzą :)

ODPOWIEDZ