zbiory borelowskie
: 6 paź 2019, o 22:35
Mam zadanie wykazać sigma algebra zbiorów borelowskich jest generowana przez każdą z nastepujacych rodzin zbiorow:
1. \(\displaystyle{ M_1=\left\{ (a,b):a<b\right\} }\)
2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
3. \(\displaystyle{ M_3=\left\{ (a,b] :a<b\right\}}\)
4. \(\displaystyle{ M_4=\left\{ (a,+\infty)\right\} }\)
5. \(\displaystyle{ M_5=\left\{ [a,+\infty\right\} }\)
Czy wystarczy pokazać tylko że z każdego z powyższych zbiorów można otrzymać zbiory otwarte postaci: \(\displaystyle{ (-\infty,a),(a,b),(b,+\infty)}\)? Pierwszy punkt byłby wtedy trywialny wiec prosze o sprawdzenie 2:
2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
\(\displaystyle{ (a,b)= \bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] }\)
\(\displaystyle{ (a,+\infty)= \mathbb{R}\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,a] }\)
Czy to ma sens czy w ogóle źle rozumiem to zadanie?
1. \(\displaystyle{ M_1=\left\{ (a,b):a<b\right\} }\)
2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
3. \(\displaystyle{ M_3=\left\{ (a,b] :a<b\right\}}\)
4. \(\displaystyle{ M_4=\left\{ (a,+\infty)\right\} }\)
5. \(\displaystyle{ M_5=\left\{ [a,+\infty\right\} }\)
Czy wystarczy pokazać tylko że z każdego z powyższych zbiorów można otrzymać zbiory otwarte postaci: \(\displaystyle{ (-\infty,a),(a,b),(b,+\infty)}\)? Pierwszy punkt byłby wtedy trywialny wiec prosze o sprawdzenie 2:
2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
\(\displaystyle{ (a,b)= \bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] }\)
\(\displaystyle{ (a,+\infty)= \mathbb{R}\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,a] }\)
Czy to ma sens czy w ogóle źle rozumiem to zadanie?