zbiory borelowskie

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

zbiory borelowskie

Post autor: degel123 » 6 paź 2019, o 22:35

Mam zadanie wykazać sigma algebra zbiorów borelowskich jest generowana przez każdą z nastepujacych rodzin zbiorow:
1. \(\displaystyle{ M_1=\left\{ (a,b):a<b\right\} }\)
2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
3. \(\displaystyle{ M_3=\left\{ (a,b] :a<b\right\}}\)
4. \(\displaystyle{ M_4=\left\{ (a,+\infty)\right\} }\)
5. \(\displaystyle{ M_5=\left\{ [a,+\infty\right\} }\)

Czy wystarczy pokazać tylko że z każdego z powyższych zbiorów można otrzymać zbiory otwarte postaci: \(\displaystyle{ (-\infty,a),(a,b),(b,+\infty)}\)? Pierwszy punkt byłby wtedy trywialny wiec prosze o sprawdzenie 2:

2. \(\displaystyle{ M_2=\left\{ [a,b]:a<b\right\} }\)
\(\displaystyle{ (a,b)= \bigcup_{n=1}^{\infty}[a+\frac{1}{n},b-\frac{1}{n}] }\)
\(\displaystyle{ (a,+\infty)= \mathbb{R}\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}[-n,a] }\)

Czy to ma sens czy w ogóle źle rozumiem to zadanie?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25580
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: zbiory borelowskie

Post autor: Jan Kraszewski » 6 paź 2019, o 22:39

Wypadałoby podać, co jest dla Ciebie definicją zbiorów borelowskich.

JK

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: zbiory borelowskie

Post autor: degel123 » 6 paź 2019, o 22:53

Sigma algebra zbiorów borelowskich to sigma algebra zawierająca wszystkie zbiory otwarte, czyli zbiór borelowski to zbiór który powstaje przez przeliczalne sumy, różnice, przecięcia i dopełnienia zbiorów otwartych. Jak zatem mam pokazać że powyższe rodziny zbiorów generują sigme algebre zbiorów borelowskich?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25580
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: zbiory borelowskie

Post autor: Jan Kraszewski » 7 paź 2019, o 01:02

Masz uzasadnić, że każda z tych rodzin może wygenerować rodzinę wszystkich zbiorów otwartych (przy pomocy dopełnień i przeliczalnych sum). Wtedy \(\sigma\)-algebra generowana przez każdą z tych rodzin będzie zawierać \(\sigma\)-algebrę zbiorów borelowskich (bo będzie zawierać rodzinę wszystkich zbiorów otwartych, a operacja sigma generowania jest idempotentna). Z drugiej strony każda z tych rodzin składa się ze zbiorów borelowskich, skąd łatwo otrzymujemy zawieranie w drugą stronę.

JK

degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 63 razy

Re: zbiory borelowskie

Post autor: degel123 » 7 paź 2019, o 12:13

Jan Kraszewski pisze:
7 paź 2019, o 01:02
Masz uzasadnić, że każda z tych rodzin może wygenerować rodzinę wszystkich zbiorów otwartych (przy pomocy dopełnień i przeliczalnych sum).

Czyli moje rozwiązanie dla przykładu drugiego jest poprawne? Mam pokazać że każda z tych rodzin zbiorów generuje zbiory postaci: \(\displaystyle{ \mathbb{R}, \emptyset, (a,b), (-\infty,a),(b,+\infty)}\)? Wtedy otrzymam wszystkie możliwe zbiory otwarte.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25580
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4265 razy

Re: zbiory borelowskie

Post autor: Jan Kraszewski » 7 paź 2019, o 12:33

degel123 pisze:
7 paź 2019, o 12:13
Czyli moje rozwiązanie dla przykładu drugiego jest poprawne? Mam pokazać że każda z tych rodzin zbiorów generuje zbiory postaci: \(\displaystyle{ \mathbb{R}, \emptyset, (a,b), (-\infty,a),(b,+\infty)}\)?
Wystarczyłyby przedziały \((a,b)\).
degel123 pisze:
7 paź 2019, o 12:13
Wtedy otrzymam wszystkie możliwe zbiory otwarte.
No ale to musisz jeszcze krótko uzasadnić.

No i do tego musisz wytłumaczyć (mniej więcej tak jak napisałem) dlaczego to wystarczy.

JK

ODPOWIEDZ