Matematyka.pl

Cześć mam 2 prośby. Pierwszą jest sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem zadanie 1. Drugą jest pomoc w rozwiązaniu zadania 2.

Zad.1. Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) - pewne odwzorowani i niech \(\displaystyle{ M}\) będzie sigma algebrą w \(\displaystyle{ X}\). Pokazać że klasa wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ B \subset Y}\) takich że \(\displaystyle{ f^{-1}(B) \in M}\) jest sigma algebrą w \(\displaystyle{ Y}\).

Zrobiłem tak:
1) \(\displaystyle{ f^{-1}(Y)=X \in M}\), czyli pierwszy warunek jest spełniony.
2) Niech \(\displaystyle{ A \subset Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ f^{-1}(Y \setminus A)=X \setminus f^{-1}(A) \in M}\)
3)\(\displaystyle{ f^{-1}(A_1 \cup A_2 \cup ...)=f^{-1}(A_1) \cup f^{-1}(A_2) \cup ... \in M}\) gdzie \(\displaystyle{ A_1,A_2,... \subset Y}\)

Czy wszystko jest poprawnie uzasadnione czy coś pasuje dopowiedzieć?

Zad.2. Przy założeniach z zad.1. pokazać, że klasa \(\displaystyle{ \left\{ f(A):A \in M\right\} \subset 2^Y }\) w ogólnym przypadku nie jest sigma algebrą.

Ad 1
Tok rozumowania jest słuszny, ale uzasadnienie jest "clumsy".

JK

A pomoże ktoś z zadaniem 2?

Poszukaj kontrprzykładu. Który warunek z def. \(\sigma\)-algebry najłatwiej "zepsuć"?

JK

Na pewno drugi bo \(\displaystyle{ f(A)\setminus f(B)\subseteq f(A\setminus B)}\). Tylko nie wiem jaką wziąć funkcje i zbiory

Jak dla mnie prościej zepsuć warunek, że cała przestrzeń ma należeć do \(\sigma\)-algebry. Wtedy wystarczy wziąć funkcję, która nie jest "na".

JK

Czyli np. \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(x)=x^2}\)? Wtedy \(\displaystyle{ f(\mathbb{R})=[0,+\infty)}\).

No ale jeszcze wypadałoby podać, jaką \(\sigma\)-algebrę \(M\) rozważasz.

JK

Np. \(\displaystyle{ M=\left\{ \left\{ \emptyset\right\}, \left\{\mathbb{R} \right\} \right\} }\)

Na przykład. Albo \(\mathcal{P}(\RR)\).

JK

Dzięki