Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Dejupitala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dejupitala12 »

Witam, czy posiada ktoś namiary (w internecie bądź w książkach) na dowód regularności lokalnie skończonej miary borelowskiej na przestrzeni metrycznej ? Sam znalazłem jedynie dowody przy założeniu, że miara jest skończona, bądź, że przestrzeń jest zwarta, natomiast koniecznie potrzebuję LOKALNEJ skończoności miary. Dziękuję za odpowiedzi

Podobno bez straty ogólności można założyć, że miara jest skończona i wtedy dowód idzie jak dla miary skończonej. Natomiast ja nie widzę tego "bez straty ogólności" Także, tak naprawdę do szczęścia mi wystarczy wyjaśnienie tego dlaczego można tak założyć
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Premislav »

A to prawda jest w ogóle? Zawsze byłem debilem z teorii miary i całki (trója z egzaminu itp.), ale na pierwszy rzut oka to mnie się wydaje, że tu jest wspomniany kontrprzykład:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_measure#Inner_regular_measures_that_are_not_outer_regular
Dejupitala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dejupitala12 »

Widziałem dowód tego, ale mówiący o mierze skończonej i przeniesieniu tego na miarę lokalnie skończoną w "prosty sposób", ale nie mówiąc jak, albo ja po prostu tego nie wyczytałem. Dowód ten jest w artykule pt "Sobolev Spaces on Metric Measure Spaces" na stronie 69. Artykuł łatwo dostępny w internecie.

A co do twojego przykładu to wydaje mi się, że to nie jest przestrzeń metryzowalna (przynajmniej nic nie jest o tym wspomniane ).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dasio11 »

Dejupitala12 pisze:Widziałem dowód tego, ale mówiący o mierze skończonej i przeniesieniu tego na miarę lokalnie skończoną w "prosty sposób", ale nie mówiąc jak, albo ja po prostu tego nie wyczytałem. Dowód ten jest w artykule pt "Sobolev Spaces on Metric Measure Spaces" na stronie 69. Artykuł łatwo dostępny w internecie.
Ściśle mówiąc, w artykule mowa jest o miarach lokalnie skończonych, borelowsko regularnych (i nietrywialnych).

A redukcję, o której piszą w artykule, można zrobić tak: na mocy lematu 3.3.28

\(\displaystyle{ X = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n}\),

gdzie \(\displaystyle{ B_n : n = 1, 2, \ldots}\) to otwarte kule w \(\displaystyle{ X}\) mające skończoną miarę. Poprawiając nieco dowód tego lematu, możemy otrzymać tezę mocniejszą: \(\displaystyle{ \overline{B_n}}\) ma skończoną miarę dla każdego \(\displaystyle{ n}\) (bo: każdy punkt \(\displaystyle{ x \in X}\) jest środkiem pewnej kuli, której domknięcie ma skończoną miarę; wszystkie takie kule tworzą pokrycie, z którego - na mocy własności Lindelöfa - możemy wybrać przeliczalne podpokrycie).

Niech \(\displaystyle{ (*)}\) oznacza - udowodnioną już - wersję niniejszego stwierdzenia dla przestrzeni o skończonej mierze.

Ustalmy najpierw mierzalny podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) i załóżmy, że ma skończoną miarę. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i wybierzmy takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że oznaczając \(\displaystyle{ F = \bigcup_{n=1}^N \overline{B_n}}\), mamy \(\displaystyle{ \mu(A \cap F) \ge \mu(A) - \varepsilon}\).

Stosując \(\displaystyle{ (*)}\) do przestrzeni \(\displaystyle{ (F, d, \mu)}\) i mierzalnego podzbioru \(\displaystyle{ A \cap F}\), dostajemy zbiór \(\displaystyle{ C \subseteq A \cap F}\) domknięty w \(\displaystyle{ F}\) (a zatem i w \(\displaystyle{ X}\), bo \(\displaystyle{ F}\) również jest domknięty), taki że \(\displaystyle{ \mu(C) \ge \mu(A \cap F) - \varepsilon}\). Wtedy też oczywiście \(\displaystyle{ C \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ \mu(C) \ge \mu(A) - 2 \varepsilon}\), co kończy pierwszą część dowodu przy dodatkowym założeniu skończoności miary \(\displaystyle{ A}\).

Jeśli miara \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończona, to postępujemy analogicznie, z tym, że zamiast \(\displaystyle{ \mu(A) - \varepsilon}\) rozważamy dowolnie duże \(\displaystyle{ M > 0}\) i zamiast \(\displaystyle{ \mu(C) \ge \mu(A \cap F) - \varepsilon}\), żądamy by \(\displaystyle{ \mu(C) \ge \frac{1}{2} M}\).


Rozważmy teraz dowolny podzbiór \(\displaystyle{ E \subseteq X}\). Jeśli \(\displaystyle{ E}\) ma nieskończoną miarę, to teza jest oczywista, możemy więc założyć przeciwnie, że miara \(\displaystyle{ E}\) jest skończona. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest

\(\displaystyle{ \mu \left( B_n \cap \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i \right) \le \frac{\varepsilon}{2^n}}\)

Istotnie: dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) możemy znaleźć zbiór otwarty \(\displaystyle{ B_n' \subseteq X}\) taki, że \(\displaystyle{ B_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i \subseteq B_n' \subseteq B_n}\) oraz \(\displaystyle{ \mu \left( B_n' \cap \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i \right) \le \frac{\varepsilon}{2^n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ B_n'}\) ma skończoną miarę oraz

\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i \cup B_n'}\),

więc możemy zastąpić \(\displaystyle{ B_n}\) przez \(\displaystyle{ B_n'}\). Tę procedurę możemy wykonać kolejno dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, \ldots}\), dostając w efekcie przeliczalne pokrycie przestrzeni zbiorami otwartymi \(\displaystyle{ B_n'}\), takimi że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) jest

\(\displaystyle{ \mu \left( B_n' \cap \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i' \right) \le \frac{\varepsilon}{2^n}}\)

co uzasadnia, że nasze założenie nie zmniejsza ogólności.

Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) stosujemy \(\displaystyle{ (*)}\) do przestrzeni \(\displaystyle{ (B_n, d, \mu)}\) z podzbiorem \(\displaystyle{ E \cap B_n}\), otrzymując zbiór \(\displaystyle{ O_n}\) otwarty w \(\displaystyle{ B_n}\) (a więc też otwarty \(\displaystyle{ X}\)), taki że \(\displaystyle{ E \cap B_n \subseteq O_n}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(O_n) \le \mu(E \cap B_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}}\). Twierdzimy, że

\(\displaystyle{ O = \bigcup_{n=1}^{\infty} O_n}\)

jest szukanym nadzbiorem \(\displaystyle{ E}\). Niewątpliwie jest to otwarty nadzbiór \(\displaystyle{ E}\), bo

\(\displaystyle{ O = \bigcup_{n=1}^{\infty} O_n \supseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} E \cap B_n = E}\).

Korzystając wielokrotnie z tożsamości \(\displaystyle{ \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B)}\), dostajemy ponadto

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\mu(E) & \ge \mu \left( \bigcup_{n=1}^{m} E \cap B_n \right) = \sum_{n=1}^m \left( \mu(E \cap B_n) - \mu \left( E \cap B_n \cap \bigcup_{i=1}^{n-1} E \cap B_i \right) \right) \\
& \ge \sum_{n=1}^m \left( \mu(E \cap B_n) - \mu \left( B_n \cap \bigcup_{i=1}^{n-1} B_i \right) \right) \ge \sum_{n=1}^m \mu(E \cap B_n) - \varepsilon \left( 1 - \frac{1}{2^m} \right)
\end{align*} $}\)


a zatem

\(\displaystyle{ \mu(E) \ge \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E \cap B_n) - \varepsilon}\).

Stąd ostatecznie

\(\displaystyle{ \mu(O) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(O_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E \cap B_n) + \varepsilon \le \mu(E) + 2 \varepsilon}\),

co kończy dowód.
Dejupitala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Re: Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dejupitala12 »

Dasio11, dzięki za odpowiedź, bardzo mi pomogła Ten pomysł na część dowodu ze zbiorami otwartymi jest dosyć nietrywialny, z ciekawości, sam na niego wpadłeś, czy coś podobnego mogę znaleźć w jakiejś literaturze ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dasio11 »

Podobne rozumowania z pewnością występują w literaturze, ale ten akurat dowód jest moim pomysłem. I to niezbyt dobrym w tym przypadku, bo da się to zrobić znacznie prościej.

Początek jak poprzednio: ustalamy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ E \subseteq X}\) skończonej miary i \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Stosując \(\displaystyle{ (*)}\) - tym razem natychmiast - do podzbioru \(\displaystyle{ E \cap B_n}\) przestrzeni \(\displaystyle{ (B_n, d, \mu)}\), dostajemy otwarty podzbiór \(\displaystyle{ O_n \subseteq B_n}\), taki że \(\displaystyle{ E \cap B_n \subseteq O_n}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(O_n) \le \mu(E \cap B_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}}\), skąd w szczególności \(\displaystyle{ \mu \big( O_n \setminus (E \cap B_n) \big) \le \frac{\varepsilon}{2^n}}\). Dalej znów kładziemy \(\displaystyle{ O = \bigcup_{n=1}^{\infty} O_n.}\)

Teraz: zauważmy, że \(\displaystyle{ O \setminus E \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} \big( O_n \setminus (E \cap B_n) \big)}\) (a nawet zachodzi równość, ale nam wystarczy zawieranie). Mamy zatem

\(\displaystyle{ \mu( O \setminus E ) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mu \big( O_n \setminus (E \cap B_n) \big) \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon,}\)

co implikuje \(\displaystyle{ \mu(O) \le \mu(E) + \varepsilon}\), czyli \(\displaystyle{ O}\) jest szukanym zbiorem otwartym.


Poprzednio z jakichś względów uznałem, że taki prosty argument nie zadziała, ale jak widać - niesłusznie.
Dejupitala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 18 sie 2016, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dejupitala12 »

Hmmm...rzeczywiście Nawet wygląda na bardziej "naturalne" podejście.

A tak jeszcze w ramach upewnienia się...gdybym powiedzmy przypuścił dodatkowo, że wszystkie kule otwarte mają miarę skończoną, to za \(\displaystyle{ B_n}\) mógłbym wziąć dowolną rodzinę wstępujących kul otwartych (np. o promieniu \(\displaystyle{ n}\)) o środku w pewnym ustalonym (dla wszystkich kul) punkcie prawda ?

Po prostu, tak jak teraz postać kul \(\displaystyle{ B_n}\) jest niesprecyzowana, tak wtedy by było można tą postać sprecyzować. Wydaje mi się, że to oczywiste, ale nie chcę popełnić jakiejś równie oczywistej głupoty
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Regularność lokalnie skończonej miary borelowskiej

Post autor: Dasio11 »

Dejupitala12 pisze:gdybym powiedzmy przypuścił dodatkowo, że wszystkie kule otwarte mają miarę skończoną, to za \(\displaystyle{ B_n}\) mógłbym wziąć dowolną rodzinę wstępujących kul otwartych (np. o promieniu \(\displaystyle{ n}\)) o środku w pewnym ustalonym (dla wszystkich kul) punkcie prawda ?
Tak, a dokładniej: dowolny ciąg kul otwartych o ustalonym środku i promieniach rozbiegających do nieskończoności.
ODPOWIEDZ