Definicja miara Lebesgue'a
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 16 lis 2017, o 17:33
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Definicja miara Lebesgue'a
Sprecyzuj, co masz na myśli. Jeżeli przez \(\displaystyle{ \mu}\) oznaczymy miarę Lebesgue'a, to mówimy, że zbiór mierzalny \(\displaystyle{ A}\) jest dodatniej miary, o ile \(\displaystyle{ \mu(A) > 0}\).
Chodzi Ci o to, że nie wiesz, czym jest miara Lebesgue'a, czy o coś innego?
Chodzi Ci o to, że nie wiesz, czym jest miara Lebesgue'a, czy o coś innego?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Definicja miara Lebesgue'a
Zakładam, że chodzi o miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \RR}\).
Dla zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq [n, n+1)}\):
- Zewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba
\(\displaystyle{ m^*(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n) : \left< I_n \right>_{n \in \NN} \text{ jest rodziną przedziałów, taką że } A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \right\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \ell(I)}\) oznacza długość przedziału \(\displaystyle{ I}\).
- Wewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba \(\displaystyle{ m_*(A) = 1 - m^* \big( [n, n+1) \setminus A \big)}\).
- \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) = m^*(A)}\), i wtedy tę liczbę nazywa się miarą Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\), którą oznacza się \(\displaystyle{ \lambda(A)}\).
Czyli odpowiedź na Twoje pytanie:
- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią wewnętrzną miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) > 0}\).
- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny i \(\displaystyle{ \lambda(A) > 0}\).
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny, to powyższe warunki są równoważne.
Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\) definicje są trochę bardziej techniczne, ale to w zasadzie to samo.
Dla zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq [n, n+1)}\):
- Zewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba
\(\displaystyle{ m^*(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n) : \left< I_n \right>_{n \in \NN} \text{ jest rodziną przedziałów, taką że } A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \right\}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \ell(I)}\) oznacza długość przedziału \(\displaystyle{ I}\).
- Wewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba \(\displaystyle{ m_*(A) = 1 - m^* \big( [n, n+1) \setminus A \big)}\).
- \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) = m^*(A)}\), i wtedy tę liczbę nazywa się miarą Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\), którą oznacza się \(\displaystyle{ \lambda(A)}\).
Czyli odpowiedź na Twoje pytanie:
- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią wewnętrzną miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) > 0}\).
- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny i \(\displaystyle{ \lambda(A) > 0}\).
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny, to powyższe warunki są równoważne.
Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\) definicje są trochę bardziej techniczne, ale to w zasadzie to samo.