Definicja miara Lebesgue'a

[FikiMiki94]

Jaka jest definicja zbioru o dodatniej mierze (wewnetrznej) Lebesgue'a?

[bartek118]

Sprecyzuj, co masz na myśli. Jeżeli przez \(\displaystyle{ \mu}\) oznaczymy miarę Lebesgue'a, to mówimy, że zbiór mierzalny \(\displaystyle{ A}\) jest dodatniej miary, o ile \(\displaystyle{ \mu(A) > 0}\).

Chodzi Ci o to, że nie wiesz, czym jest miara Lebesgue'a, czy o coś innego?

[Dasio11]

Zakładam, że chodzi o miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \RR}\).

Dla zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq [n, n+1)}\):

- Zewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba

\(\displaystyle{ m^*(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n) : \left< I_n \right>_{n \in \NN} \text{ jest rodziną przedziałów, taką że } A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \right\}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \ell(I)}\) oznacza długość przedziału \(\displaystyle{ I}\).

- Wewnętrzna miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\) to liczba \(\displaystyle{ m_*(A) = 1 - m^* \big( [n, n+1) \setminus A \big)}\).

- \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) = m^*(A)}\), i wtedy tę liczbę nazywa się miarą Lebesgue'a \(\displaystyle{ A}\), którą oznacza się \(\displaystyle{ \lambda(A)}\).

Czyli odpowiedź na Twoje pytanie:

- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią wewnętrzną miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ m_*(A) > 0}\).

- \(\displaystyle{ A}\) ma dodatnią miarę Lebesgue'a, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny i \(\displaystyle{ \lambda(A) > 0}\).

Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny, to powyższe warunki są równoważne.


Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\) definicje są trochę bardziej techniczne, ale to w zasadzie to samo.