Całka krzywoliniowa zorientowana- teoria a praktyka.

[pawlo392]

Przypomnę definicję ogólną całki krzywoliniowej zorientowanej. Ważna jest tutaj suma:
\(\displaystyle{ M(F,\phi,\mathcal{P},\xi):= \sum_{j=1}^{m}F(\phi(\xi_j))\cdot (\phi(t_j)-\phi(t_{j-1}))}\)
Teraz musi być odpowiednia granica itd. Ale nie jest to istotne.
Wersja praktyczna to:
\(\displaystyle{ \int_C F \cdot \dd s= \int_{a}^{b}F(\phi(t))\cdot \phi'(t) \, \dd t}\).
gdzie \(\displaystyle{ \phi:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}}\) kawałkami \(\displaystyle{ C^1}\).
Chcemy jakby pokazać, żę te dwie definicje się pokrywają. Mam coś takiego. Ustalamy poział odcinka oraz punktu pośrednie :
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\left| M(F,\phi,\mathcal{P},\xi)-M(F \circ \phi \cdot \phi',\mathcal{P},\xi)\right| & \le \sum_{j=1}^{m}\left| F(\phi(\xi_j))\cdot \big( \phi(t_j)-\phi(t_{j-1}) -\phi'(\xi_j)(t_j-t_{j-1}) \big)\right| \\
& \le \sum_{j=1}^{m}\left| F(\phi(\xi_j))\right|\cdot \left| \phi(t_j)-\phi(t_{j-1}) -\phi'(\xi_j)(t_j-t_{j-1})\right| \\
& \le (\max_{C_{\phi}}\left| F(x)\right|) \sup \left\{ |\phi'(x)-\phi'(y)| : |x-y| \le \mathrm{diam}(\mathcal{P})\right\}(b-a)
\end{align*} $}\)
Moje pytanie to przede wszytskim skąd pierwsza nierówność. Co oznacza \(\displaystyle{ F \circ \phi \cdot \phi'}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left| M(F,\phi,\mathcal{P},\xi)-M(F \circ \phi \cdot \phi',\mathcal{P},\xi)\right|}\)
[...]
Moje pytanie to przede wszytskim skąd pierwsza nierówność. Co oznacza \(\displaystyle{ F \circ \phi \cdot \phi'}\)

Abstrahując od oznaczenia \(\displaystyle{ M(F \circ \phi \cdot \phi', \mathcal{P}, \xi)}\), którego definicji nie przytoczyłeś (funkcja \(\displaystyle{ M}\), którą zdefiniowałeś wcześniej, jest czteroargumentowa): suma całkowa odpowiadająca całce według definicji "teoretycznej" to

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n F(\phi(\xi_j)) \cdot \big( \phi(t_j) - \phi(t_{j-1}) \big).}\)

Z kolei suma całkowa odpowiadająca definicji "praktycznej" to zwykła suma całkowa Riemanna i wygląda tak:

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n F(\phi(\xi_j)) \cdot \phi'(\xi_j) (t_j-t_{j-1}).}\)

Stosując w standardowy sposób nierówność trójkąta do sumy, dostajemy

\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
& \phantom{\le} \: \left| \sum_{j=1}^n F(\phi(\xi_j)) \cdot \big( \phi(t_j) - \phi(t_{j-1}) \big) - \sum_{j=1}^n F(\phi(\xi_j)) \cdot \phi'(\xi_j) (t_j-t_{j-1}) \right| \\
& \le \sum_{j=1}^n \big| F(\phi(\xi_j)) \cdot \big( \phi(t_j) - \phi(t_{j-1}) \big) - F(\phi(\xi_j)) \cdot \phi'(\xi_j) (t_j-t_{j-1}) \big|
\end{align*} $}\)

Korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego, wyrażenie w module przekształcamy do postaci

\(\displaystyle{ F(\phi(\xi_j)) \cdot \big( \phi(t_j) - \phi(t_{j-1}) - \phi'(\xi_j) (t_j-t_{j-1}) \big)}\)

i to uzasadnia pierwszą nierówność.