Matematyka.pl

Cześć przygotowując się do egzaminu dyplomowego napotkałem na pojęcie miary i całki Lebesgue'a, i o ile rozumiem konstrukcję całki Riemanna to nie wiem czym różni się od niej całka Lebesgue'a. Mógłby ktoś tak orientacyjnie przybliżyć konstrukcję miary i całki Lebesgue'a i wyjaśnić czym różni się od całki Riemanna? Takie podstawy aby wystarczyły w przypadku gdyby na egzaminie pojawiło się pytanie o te właśnie całki.

Mógłby ktoś tak orientacyjnie przybliżyć konstrukcję miary i całki Lebesgue'a i wyjaśnić czym różni się od całki Riemanna?

Tu daje się wskazówki, a nie systematyczne wykłady. Do tego są albo zajęcia na uczelni, albo korepetycje.

Całka Lebesgue'a jest w pewnym sensie uogólnieniem całki Riemanna. Każda funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a i obie całki są równe. Ale nie na odwrót. Np. funkcja Dirichleta nie jest całkowalna w sensie Riemanna na żadnym przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), zaś jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. Powodem niecałkowalności w sensie Riemanna jest nierówność całki górnej i dolnej Darboux, ale też, w myśl twierdzenia Lebesgue'a, zbiór punktów nieciągłości funkcji Dirichleta, który nie ma miary zero. Klasa funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a jest więc istotnie szersza.

Tyle wskazówek z mojej strony.