Miara i całka Lebesgue'a, całka Riemanna

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
degel123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 193
Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska
Podziękował: 64 razy

Miara i całka Lebesgue'a, całka Riemanna

Post autor: degel123 » 20 cze 2019, o 11:23

Cześć przygotowując się do egzaminu dyplomowego napotkałem na pojęcie miary i całki Lebesgue'a, i o ile rozumiem konstrukcję całki Riemanna to nie wiem czym różni się od niej całka Lebesgue'a. Mógłby ktoś tak orientacyjnie przybliżyć konstrukcję miary i całki Lebesgue'a i wyjaśnić czym różni się od całki Riemanna? Takie podstawy aby wystarczyły w przypadku gdyby na egzaminie pojawiło się pytanie o te właśnie całki.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2019, o 13:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Więcej szacunku dla Lebesgue'a!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18719
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3715 razy

Re: Miara i całka Lebesgue'a, całka Riemanna

Post autor: szw1710 » 20 cze 2019, o 15:57

[quote] Mógłby ktoś tak orientacyjnie przybliżyć konstrukcję miary i całki Lebesgue'a i wyjaśnić czym różni się od całki Riemanna?[/quote]

Tu daje się wskazówki, a nie systematyczne wykłady. Do tego są albo zajęcia na uczelni, albo korepetycje.

Całka Lebesgue'a jest w pewnym sensie uogólnieniem całki Riemanna. Każda funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue'a i obie całki są równe. Ale nie na odwrót. Np. funkcja Dirichleta nie jest całkowalna w sensie Riemanna na żadnym przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), zaś jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. Powodem niecałkowalności w sensie Riemanna jest nierówność całki górnej i dolnej Darboux, ale też, w myśl twierdzenia Lebesgue'a, zbiór punktów nieciągłości funkcji Dirichleta, który nie ma miary zero. Klasa funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a jest więc istotnie szersza.

Tyle wskazówek z mojej strony.

ODPOWIEDZ