Zbiór x, dla których ciąg funkcji jest rosnący

[ivni]

Niech \(\displaystyle{ f_n:X \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie ciągiem funkcji mierzalnych względem \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała \(\displaystyle{ \Sigma}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór wszystkich \(\displaystyle{ x}\), dla których ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)}\) jest rosnący. Wykazać, że \(\displaystyle{ A \in \Sigma}\).

Z założenia \(\displaystyle{ f_n}\) jest mierzalna, więc dla dowolnego \(\displaystyle{ B \in Bor(\mathbb{R})}\) mamy \(\displaystyle{ f^{-1} \in \Sigma}\). Dobrze rozumiem, że trzeba teraz wykazać, że istnieje taki zbiór borelowski \(\displaystyle{ S}\), że \(\displaystyle{ f^{-1}[S]=A}\)?

[leg14]

Nie no, masz wykazać, że A jest borelowski - to co napisałeś jest jedną z możliwych dróg.
Ja proponuję udowodnić, że dopełnienie A jest borelowskie

[Dasio11]

A ja proponuję zapisać symbolicznie definicję zbioru \(\displaystyle{ A}\).

[ivni]

Czy chodzi o taki zapis symboliczny:
\(\displaystyle{ A=\left\{ x \in X: f_n(x)<f_{n+1}(x)\right\}}\)?
Nie potrafię nic więcej z tego wywnioskować.

[Dasio11]

Blisko, ale niedobrze, bo w zapisie pojawia się \(\displaystyle{ n}\), którego nie wprowadziłeś.

Dla ustalonego \(\displaystyle{ x \in X}\), jak zapisać to, że ciąg \(\displaystyle{ (f_n(x))}\) jest rosnący?

[ivni]

To chyba wystarczy dodać, że dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\), tj.
\(\displaystyle{ A=\left\{ x \in X: \forall n \in \mathbb{N} f_n(x)<f_{n+1}(x)\right\}}\)

[Dasio11]

Ok. Teraz zamień kwantyfikator na operację teoriomnogościową.

[ivni]

Będzie tak?
\(\displaystyle{ A= \bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \left\{ x \in X:f_n(x)<f_{n+1}(x)\right\}}\)

Edit. Wpadłem na następujący pomysł:
\(\displaystyle{ f_{n}(x)<f_{n+1}(x)}\) jeżeli istnieją takie wymierne liczby \(\displaystyle{ p,q}\), że \(\displaystyle{ f_{n}(x)<p<q<f_{n+1}(x)}\). Tym samym \(\displaystyle{ x \in A \Leftrightarrow \left( \forall n \in \mathbb{N}\right)\left( \exists p,q \in \mathbb{Q}, p<q\right)f_n(x)<p, f_{n+1}(x)>q}\)
Teraz zapisując operatorami mnogościowymi:
\(\displaystyle{ A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}}^{} \bigcup_{p<q}^{} \left\{ x \in X : f_n(x)<p \right\}\cap \left\{ x \in X : f_{n+1}(x)>q \right\} \in \Sigma}\)
Czy to jest poprawnie?

[Dasio11]

Jest poprawnie. Dla uproszczenia można zauważyć, że wystarczy \(\displaystyle{ p=q}\), czyli

\(\displaystyle{ A = \bigcap_{n \in \NN} \bigcup_{p \in \QQ} \{ x \in X : f_n(x) < p \} \cap \{ x \in X : f_{n+1}(x) > p \}}\).