Miara probabilistyczna
Miara probabilistyczna
Czy istnieje probabilistyczna miara borelowska \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) taka, ze \(\displaystyle{ \mu \left( \left( n, \infty \right) \right) = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{-n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) ?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Miara probabilistyczna
Przypuśćmy nie wprost, że taka miara na \(\displaystyle{ \RR}\) istnieje. Co gdyby tak zauważyć, że
\(\displaystyle{ \varnothing= \bigcap_{n=1}^{+\infty}(n,\infty)}\)
Miara probabilistyczna jest skończona, więc jest ciągła z góry, tj. w szczególności powinno być
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcap_{n=1}^{+\infty}(n,\infty) \right) = \lim_{n \to \infty}\mu\left( n, \infty\right) =\frac{1}{e}}\),
czyli \(\displaystyle{ \mu(\varnothing)=\frac 1 e}\), sprzeczność.
\(\displaystyle{ \varnothing= \bigcap_{n=1}^{+\infty}(n,\infty)}\)
Miara probabilistyczna jest skończona, więc jest ciągła z góry, tj. w szczególności powinno być
\(\displaystyle{ \mu\left( \bigcap_{n=1}^{+\infty}(n,\infty) \right) = \lim_{n \to \infty}\mu\left( n, \infty\right) =\frac{1}{e}}\),
czyli \(\displaystyle{ \mu(\varnothing)=\frac 1 e}\), sprzeczność.