Miara Diraca

[alkiii123]

\(\displaystyle{ \mu}\)-miara probabilistyczna borelowska na l.rzeczywistych ze \(\displaystyle{ \int_{A}(x^3+x^2-x-1)d \mu =0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ A}\). Udowodnic ze istnieje \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) że : \(\displaystyle{ \mu =tD_{1} +(1-t)D_{-1},}\) gdzie \(\displaystyle{ D}\) ozn miare Diraca.
całke zapisałam jako \(\displaystyle{ \int_{A} (x-1)(x+1)^2 d\mu}\) i co teraz moge zrobic?

[leg14]

założyć przez zaprzeczenie, że istnije zbiór brelowski \(\displaystyle{ A}\) dodatniej miary, który nie zawiera 1 i -1

[Kordyt]

Rozumiem, że to \(\displaystyle{ \mu}\) ma być zdefiniowane jako kombinacja dwóch miar Diraca ?

Wtedy jest to rozkład 2-punktowy skoncentrowany na \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\)

Nasza funkcja zeruje się na tych punktach a wykonując całkę względem takiej miary wyjdzie sumowanie \(\displaystyle{ f(-1)+f(1)=0+0=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).

Tak samo dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) miara zdefiniowana w ten sposób jest probabilistyczna
Otóż:

\(\displaystyle{ \mu (\mathbb{R})=\mu (\left\{ -1 \right\} )+\mu (\left\{ 1 \right\} )=t+1-t=1}\)

[alkiii123]

Własnie tak samo rozwiazywałam i tez mi wyszło dla kazdego i nie wiedziałam czy to dobrze jest

[leg14]

ej no tak ale w zadaniu właśnie chodzi o to,żeby pokazać, że sigma musi mieć tę postać, a Wy zakładacie od razu, że taką ma.

[Kordyt]

Jaką sigmę masz na myśli ?

[leg14]

miu sorry

[alkiii123]

Tez myslałam zeby zaprzeczyc i dojsc do sprzecznosci ale nie wiem jak to pokazac

[leg14]

Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ A \subset \RR - \left\{ 1,-1\right\}}\) takie, że
\(\displaystyle{ \mu(A) >0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ A = A_1 \cup A_2}\) gdzie \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 = \emptyset}\) i
nasz wielomian jest dodatni na \(\displaystyle{ A_1}\) i ujemny na \(\displaystyle{ A_2}\).
Twierdzę, że co najmniej jeden z tych zbiorów jest dodatniej miary (względem miu).
Podstaw ten zbiór do całki.

[alkiii123]

Nie za badzo rozumiem czemu na \(\displaystyle{ A_{1}}\) dodatni a na \(\displaystyle{ A_{2}}\) ujemny?

[leg14]

Wyrzuciliśmu, ze zbioru A wszystkie miejsca zerowe wielomianu, więc teraz w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in A}\) zachodzi \(\displaystyle{ w(x) > 0}\) lub \(\displaystyle{ w(x) < 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ w(x) > 0}\) to \(\displaystyle{ x \in A_1}\) w przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ x \in A_2}\)