Dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru nieprzeliczalnego \(\displaystyle{ X}\) definiujemy \(\displaystyle{ \mu(A) = \begin{cases} 0, A- \text{przeliczalny} \\ 1, A - \text{nieprzeliczalny}\end{cases}}\). Sprawdzić, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą zewnętrzną i wyznaczyć \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę podzbiorów mierzalnych względem \(\displaystyle{ \mu}\).
Udowodniłam ze jest to miara zewnetrzna ale jak wyznaczyc sigma algebre?
Sigma algebra
-
szw1710
Re: Sigma algebra
Sama miara zewnętrzna jest zawsze określana na wszystkich podzbiorach przestrzeni. Więc chodzi o to, że trzeba nam jakiegoś dodatkowego warunku, który wykluczałby (ewentualnie) wszystkie podzbiory. Zapewne chodzi tu o warunek Carathéodory'ego. Twierdzenie Carathéodory'ego konstruuje bowiem pewną miarę mając za podstawę właśnie miarę zewnętrzną.
-
szw1710
Re: Sigma algebra
Przeczytaj o czym mówi twierdzenie Carathéodory'ego. Obawiam się, że ten warunek znasz jak wiersz i nic więcej. Przeczytaj też co napisałem w pierwszej odpowiedzi - o czym mniej więcej mówi to twierdzenie. Otóż zbiory spełniające ten warunek tworzą sigma-algebrę.
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Sigma algebra
No ta miara zewnętrzna jest miarą na \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele generowanym przez zbiory spełniające ten warunek.alkiii123 pisze:Znam warunek Caratheodory'ego ale co to ma do sigma algebry?
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.