Płaska miara Jordana

[aolo23]

Z definicji: funkcja ograniczona \(\displaystyle{ f(x, y)}\)jest całkowalna na zbiorze ograniczonym
\(\displaystyle{ D}\) \(\displaystyle{ \subset \RR^2}\), gdy dla pewnego prostokąta \(\displaystyle{ D \subset P}\), funkcja
\(\displaystyle{ f^{*}(x, y) = \begin{cases} f(x, y), \ dla \ (x, y) \in D; \\ 0, \ dla \ (x, y) \in P \setminus D. \end{cases}}\)

jest całkowalna na \(\displaystyle{ P}\). Niech \(\displaystyle{ P=\left\{ P_1, . . . , P_m\right\}}\) będzie dowolnym podziałem prostokąta \(\displaystyle{ P}\) na prostokąty \(\displaystyle{ P_{i} , M_{i} = \sup _{(x,y) \inP_{i}}f(x,y)}\) , \(\displaystyle{ m_{i} = \inf _{(x,y) \in P_{i}}f(x, y)}\),

\(\displaystyle{ L_{P|D} = \sum_{P_{i} \in P, P_{i} \subset D}^{}m_{i} \Delta P_{i} \\
U_{P|D} =\sum_{P _{i} \in P, P_{i} \cap D \neq \emptyset}^{} M_{i} \Delta P_{i}}\)

Pokazać, że jeśli brzeg zbioru \(\displaystyle{ D}\) ma płaską miarę Jordana równą 0, to \(\displaystyle{ f}\)
jest całkowalna na \(\displaystyle{ D}\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \sup L_{P|D} = \inf U_{P|D}}\).