Czy tak działa Fubini?

[leg14]

Mamy dwie rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i : \Omega_i \rightarrow \RR^{n_i}}\).
Patrzymy sobie na całkę \(\displaystyle{ \EE_{X_1} \EE_{X_2} f(X_1,X_2)}\) dla pewnej funkcji mierzalnej i ograniczonej \(\displaystyle{ f: \RR^{n_1} \times \RR^{n_2} \rightarrow \RR}\). Ja twierdzę, że \(\displaystyle{ \EE_{X_1} \EE_{X_2} f(X_1,X_2)}\) jest równe \(\displaystyle{ \EE_{X_2} \EE_{X_1} f(X_1,X_2)}\) niezależnie od tego jak się mają \(\displaystyle{ X_i}\) do siebie (w szczególności nie ma znaczenia to, czy są niezależne). Prawda to, czy nie?

[Wasilewski]

Krótka odpowiedź jest taka, że tak to działa, ale nie do końca.

Problem jest taki, że formalnie napis \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2)}\) nie ma sensu; łączny rozkład zmiennych \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) jest jakąś miarą probabilistyczną na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i w zasadzie nie ma powodu, żeby względem tej miary dało się najpierw całkować względem jednej zmiennej, a potem względem drugiej. Na szczęście taki powód jest i jest nim lemat o plasterkowaniu miary (

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Disintegration_theorem

). To plasterkowanie można wykonać w obu kierunkach, co nadaje sens tym całkom oraz pokazuje ich równość.

Jeśli chcesz pozostać przy probabilistycznej interpretacji, to ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_2} f(X_1,X_2)}\) powinno oznaczać warunkową wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}(f(X_1,X_2)| X_1)}\), która jest postaci \(\displaystyle{ g(X_1)}\) dla pewnej mierzalnej funkcji \(\displaystyle{ g}\); potem faktycznie można odcałkować względem zmiennej \(\displaystyle{ X_1}\). W tym języku Twoja równość to
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (\mathbb{E}( f(X_1,X_2)| X_1)) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(f(X_1,X_2)|X_2))}\)
i wynika z tego, że obie strony są równe \(\displaystyle{ \mathbb{E} f(X_1,X_2)}\).

[leg14]

Problem jest taki, że formalnie napis \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2)}\) nie ma sensu;

Dlaczego nie ma sensu?
Definiujemy funkcję: \(\displaystyle{ h: x \rightarrow \int_{}^{} f(x,y) d\mu_{X_2}(y)}\) .
Zakładamy oczywiście, że jest mierzalna i wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2) = h(X_1 )}\) .

Ja nie twierdzę przecież, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2) = \mathbb{E}_{(X_1,X_2)} f(X_1,X_2)}\) .

[Wasilewski]

Ok, jak definiujesz to w ten sposób, to jest to po prostu klasyczne twierdzenie Fubiniego dla miary produktowej; trochę mylące jest wprowadzanie zmiennych losowych, bo definiując całki iterowane w ten sposób sprawiasz, że zmienne \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) są traktowane jako niezależne. Jedyna subtelność polega teraz na tym, że Twoja funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest dobrze określona i mierzalna -- to też jest część twierdzenia Fubiniego.