Wyznaczyć granicę.

[pawlo392]

Mamy taką granicę :
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \int_{[0,\infty)} n \left( \sqrt{x+ \frac{1}{n} }- \sqrt{x}\right)e^{ -\sqrt{x}}dL^1(x)}\)
Najpierw, żeby móc sobie "wejść" z granicą pod całkę musimy pokazać, że funkcja podcałkowa jes.t ograniczona.. Chyba, że możemy inaczej. Jakoś tego nie widzę tak na szybko.

[Wasilewski]

Jak łatwo sprawdzić (na przykład licząc pochodną), zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{x+h}-\sqrt{x} \leqslant \frac{1}{2\sqrt{x}} h}\). W naszym przypadku dostajemy \(\displaystyle{ n\left(\sqrt{x+\frac{1}{n}} - \sqrt{x}\right) \leqslant \frac{1}{2\sqrt{x}}}\). Czyli zostaje nam funkcja \(\displaystyle{ \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}\). Dzięki funkcji wykładniczej nie ma problemów w nieskończoności. Co więcej, funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{x}}}\) jest całkowalna wokół zera, więc ta funkcja jest całkowalna i można skorzystać z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.

Alternatywnie, z wklęsłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \sqrt{x}}\) można wywnioskować, że ilorazy różnicowe rosną i potem wykorzystać twierdzenie o zbieżności monotonicznej.