Weźmy sobie ciąg funkcji mierzalnych \(\displaystyle{ (f_n)}\) na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) zmierzających wedłyg miary do \(\displaystyle{ f}\). Mamy pokazać, że :
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sin (f_n(x)) dx \rightarrow \int_{0}^{1} \sin (f(x)) dx}\)
Wykazać zbieżność.
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Re: Wykazać zbieżność.
A no można tak :
Mamy takie zawieranie \(\displaystyle{ \left\{ x: |\sin f_n(x)-\sin f(x)|>\epsilon\right\} \subset \left\{ x: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\right\}}\). Jednowymiarowa miara Lebesguea po pierwszym zbiorze zbiega do zera. Zatem \(\displaystyle{ \sin f_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ \sin f}\) według miary.
Mamy takie zawieranie \(\displaystyle{ \left\{ x: |\sin f_n(x)-\sin f(x)|>\epsilon\right\} \subset \left\{ x: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\right\}}\). Jednowymiarowa miara Lebesguea po pierwszym zbiorze zbiega do zera. Zatem \(\displaystyle{ \sin f_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ \sin f}\) według miary.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Wykazać zbieżność.
Teraz jeszcze wypadałoby skorzystać z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.