Wykazać zbieżność.

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Wykazać zbieżność.

Post autor: pawlo392 »

Weźmy sobie ciąg funkcji mierzalnych \(\displaystyle{ (f_n)}\) na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) zmierzających wedłyg miary do \(\displaystyle{ f}\). Mamy pokazać, że :
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sin (f_n(x)) dx \rightarrow \int_{0}^{1} \sin (f(x)) dx}\)
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Wykazać zbieżność.

Post autor: leg14 »

Jakieś pomysły? Ja bym tutaj skorzystał z Lipschitzowskości sinusa
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Wykazać zbieżność.

Post autor: pawlo392 »

A no można tak :
Mamy takie zawieranie \(\displaystyle{ \left\{ x: |\sin f_n(x)-\sin f(x)|>\epsilon\right\} \subset \left\{ x: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon\right\}}\). Jednowymiarowa miara Lebesguea po pierwszym zbiorze zbiega do zera. Zatem \(\displaystyle{ \sin f_n}\) zbiega do \(\displaystyle{ \sin f}\) według miary.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Wykazać zbieżność.

Post autor: Wasilewski »

Teraz jeszcze wypadałoby skorzystać z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.
ODPOWIEDZ