Funkcja mierzalna
: 30 sie 2016, o 15:30
Co to tak naprawdę znaczy, że funkcja jest mierzalna, bo nie mogę tego pojąć... prosiłbym na jakichś przykładach, bo suche definicje kompletnie do mnie nie przemawiają.
Masz dane dwie przestrzenie mierzalne \(\displaystyle{ (X,\Sigma_X)}\) oraz \(\displaystyle{ (Y,\Sigma_Y)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f \colon X \rightarrow Y}\) jest mierzalna jeśli dla każdego \(\displaystyle{ B \in \Sigma_Y}\) zachodzi \(\displaystyle{ f^{-1} \in \Sigma_X}\). Słownie oznacza to, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) zachowuje strukturę miarową. Nie wiem czy jesteś zaznajomiony z topologią ogólną, ale tam pojęcie funkcji ciągłej wprowadza się w praktycznie taki sam sposób (poprzez zachowywanie struktury topologicznej, a mianowicie zbiorów otwartych czyli topologii przestrzeni).
Myślę, że najlepiej jest "zaprzyjaźnić" się z funkcjami mierzalnymi poprzez analizowanie konstrukcji całki Lebesgue'a, tam odgrywają one centralną rolę. Dodam też, że moim zdaniem konstrukcja ta jest bardziej przyjazna niż konstrukcja całki Riemanna.
Ostatnia rzecz, którą warto podkreślić to to, że zbiór funkcji mierzalnych ma znacznie bardziej bogatą strukturę algebraiczną niż zbiór funkcji ciągłych - chodzi mi o to, że jest on zamknięty na działania pewnych operatorów funkcyjnych takich jak \(\displaystyle{ \lim_n, \limsup_n, \liminf_n, \sup_n, \inf_n}\). Mianowicie, punktowa granica funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, jak też punktowe supremum, infimum, granica górna i granica dolna funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.