Matematyka.pl

Moze mi ktos wypisac jakie sa zbiory mierzalne? albo wskazac dobra stronke odnosnie przykladow:)
odcinek [2,4] ma miare 2 a odcinek (2,3)?

Miara Lebesgue'a jest jedną z najbardziej naturalnych miar, w większości przypadkow odpowiada intuicji.
Link:


Miara Twojego odcinka:
\(\displaystyle{ \lambda ((2,3)) = \lambda ([2,3])=1}\)
(ponieważ miara punktu wynosi zero, a nawet przeliczalnej ilości punktów, dla przykładu miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero)

Co do mierzalności zbiorów to myśle ze moge śmiało powiedziec że każdy zbiór ktory wymyślisz będzie mierzalny...
Jeśli chcesz niemierzalny to np zbiór Vitalego.

Może dopiszę kilka cennych uwag,
\(\displaystyle{ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^n) \subseteq \mathcal{L}_n}\)
słownie, sigma-ciało wszytskich zbiorów borelowskich zawarte jest
w sigma-ciele zbiorów mierzalnych, \(\displaystyle{ \left( \mathcal{L}_n = \left\{ A \subset \mathbb{R}^n: \bigwedge_{Z \subset \mathbb{R}^n} l_n^{\star}(Z) =l_n^{\star}(Z \cap A) +l_n^{\star}(Z \setminus A) \right\}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ l_n^{\star}}\) oznacza n-wymiarową zewnętrzną miarę Lebesgue'a.
Możemy również sformułować warunki równoważne mierzalności zbioru :

Niech \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{R}^n}\), następujące warunki są równoważne:
\(\displaystyle{ \mbox{a) } A \in \mathcal{L}_n \\
\mbox{b } \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{G \subset \mathbb{R}^n} \left[ G= \mbox{Int}G \quad \wedge \quad A \subset G \quad \wedge \quad l_n^{\star}(G \setminus A)0} \bigvee_{F \subset \mathbb{R}^n} \left[ F= \mbox{cl}F \quad \wedge \quad F \subset A \quad \wedge \quad l_n^{\star}(A \setminus F)}\)

Co do zbiorów niemierzalnych nie potrafimy ich skonstruować bez użycia pewnika wyboru, a ich istnienie gwarantuje nam BPI (Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr).

a jak pokazać,że warunki a) i e) są równoważne?

nie mam pojęcia jak zacząć to robić.