Miara zewnętrzna, sigma ciała

[artmat]

Proszę o pomoc w zadaniu:
Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie miarą zewnętrzną zdefiniowaną na \(\displaystyle{ 2 ^{X}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ X}\).
Czy prawdziwe są stwierdzenia:
1. Rodzina zbiorów \(\displaystyle{ M= \left\{ A\subset X : \forall Z \subset X\ \mu \left( Z\right) = \mu \left( Z \cup A\right) + \mu \left( Z \setminus A\right)\right\} }\) jest sigma ciałem.
2. Rodzina zbiorów \(\displaystyle{ M= \left\{ A\subset X : \forall Z \subset X\ \mu \left( Z\right) \ge \mu \left( Z \cup A\right) + \mu \left( Z \setminus A\right) \right\}}\) jest sigma ciałem.

[Medea 2]

Zauważ, że druga rodzina jest pierwszą (zauważ, że z podaddytywności miary zewnętrznej mamy nierówność w drugą stronę, \(\displaystyle{ \le}\)).

[artmat]

Zastanawia mnie \(\displaystyle{ \mu \left( Z \cup A\right)}\) Warunek Caratheodory'ego kojarzy mi się raczej ze wzorem \(\displaystyle{ \left\{ A\subset X : \forall Z \subset X\ \mu \left( Z\right)= \mu \left( Z \cap A\right) + \mu \left( Z \setminus A\right) \right\}}\)

-- 22 lut 2015, o 22:29 --

Jaka jest różnica między tymi wzorami ?