Istnienie miary

[VillagerMTV]

Witam!
Potrzebuję pomocy z zadaniem:
Czy istnieje niezerowa miara borelowska \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \RR}\) spełniająca warunek:
Dla każdego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mu ([k,k+1))=(\left| k\right| +1)^{-1}}\), która jest:
a) sigma skończona,
b) skończona.

Ogólnie wiem jakie zbiory ta miara mierzy i jaki daje wynik. Ale nie wiem jak zrobić te podpunkty. Z góry dziękuje za pomoc.

[Spektralny]

Taka miara nie może być skończona bo

\(\displaystyle{ \mu(\mathbb{R}) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \mu([k, k+1)) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{|k|+1} = +\infty.}\)

Oczywiście można tę miarę zdefiniować sobie jawnie

\(\displaystyle{ \mu(A) = \sum_{k\in \mathbb{Z}}\lambda(A\cap [k,k+1))\cdot \frac{1}{|k|+1},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) to miara Lebesgue'a.

[VillagerMTV]

Dziękuję!