rozkład Hahna

[waliant]

mam znaleźć rozkład Hahna prostej \(\displaystyle{ \RR}\) i \(\displaystyle{ \left| \mu\right|}\) dla miary \(\displaystyle{ \mu(H)= \int_{H}^{}dx- \int_{H}^{} \frac{5}{1+x^2}dx}\)

szczerze mówiąc to nie wiem jak mam zacząć

[musialmi]

Pierwsza całka jest z funkcji dodatniej, o drugiej można powiedzieć to samo. Zatem te całki są dodatnie. Miara jest tutaj ujemna, gdy całka po zbiorze \(\displaystyle{ H}\) z funkcji \(\displaystyle{ 1}\) jest mniejsza niż całka z funkcji \(\displaystyle{ \frac{5}{1+x^2}}\). Możesz też myśleć o wykresie funkcji \(\displaystyle{ 1-\frac{5}{1+x^2}}\). Nie wiem czy rozkład Hahna jest jednoznaczny (pewnie nie), ale jeden tutaj nasuwa się od razu.

A z tą wartością bezwzględną miary nie wiem o co chodzi.

[waliant]

no dobra, czyli rozpatrując \(\displaystyle{ 1-\frac{5}{1+x^2}}\) będzie tak:
pozytywny: \(\displaystyle{ P= \left( - \infty ; -2\right] \cup \left[2; \infty\right)}\)
negatywny:\(\displaystyle{ N= \left[ -2 ; 2\right]}\)
mamy \(\displaystyle{ N \cup P = \RR}\) i to jest nasz rozkład Hahna prostej \(\displaystyle{ \RR}\)?

-- 8 lut 2015, o 19:34 --

tylko właśnie obliczając całki mamy \(\displaystyle{ x-5 \arctan x}\) i tutaj rozwiązując odpowiednie nierówności wychodzą inne przedziały gdzie funkcja jest dodatnia i ujemna. Czy to właśnie będzie to, że rozkład Hahna nie jest jednoznaczny i dlatego będą różne te przedziały?

[musialmi]

Tak, z wykresu \(\displaystyle{ x-5 \arctan x}\) wynika, że zbiór \(\displaystyle{ \left\langle 3,5\right\rangle}\) powinien mieć ujemną miarę, a z pierwszego rozwiązania, że dodatnią. A ile to jest \(\displaystyle{ 5-5\arctg 5 -3+5\arctg 3}\)? Otóż jest to ponad \(\displaystyle{ 1}\). Magia?
Nie. Po prostu obliczanie całki tu nie daje nam nic, bo zbiór \(\displaystyle{ H}\) nie musi być przedziałem. Jeśli jest, to \(\displaystyle{ \mu((a,b))=b-5\arctg b-a+5 \arctg a}\) rzeczywiście (bo sobie zastosujemy tw. Newtona-Leibniza). W zadaniu chodzi o rozpatrywanie miary, która jest całką, a nie o rozpatrywanie funkcji pierwotnej funkcji podcałkowej.
Może trochę pokracznie to wytłumaczyłem. Może ktoś bardziej doświadczony powie o tym coś ciekawszego

EDIT: Z (nie)jednoznacznością rozkładu Hahna te różnice nie powinny mieć nic wspólnego. Miarę mamy jedną i podchodząc do problemu z jednej strony, wynika, że zbiór \(\displaystyle{ H}\) ma miarę dodatnią, a od innego, że ujemną. Po prostu "jedna strona" z tych dwóch jest błędnym rozumowaniem.

[waliant]

W zadaniu chodzi o rozpatrywanie miary, która jest całką, a nie o rozpatrywanie funkcji pierwotnej funkcji podcałkowej.

W tym miałem problem najwyraźniej

czyli rozkład, który podałem jest ok?

[musialmi]

Myślę, że tak