Mam problem z zadaniem
Rozważmy ciało \(\displaystyle{ M:=\left\{ A \subseteq \NN: \mathrm{card} \, A<\aleph_{0} \vee \mathrm{card}(X \setminus A)<\aleph_{0}\right\}}\) i niech \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)_{n \in \NN}}\) będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych,
że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny. Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \lambda: M \rightarrow \overline{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \lambda(A)=\sum_{n \in A} a_{n} 1_{(A)}(n)}\) dla \(\displaystyle{ A \in M}\),
jest addytywna a jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny
Wiem, że jeżeli zbiory są rozłączne, to funkcja charakterystyczna sumy zbiorów jest sumą funkcji charakterystycznych tych zbiorów, ale nie wiem jaki związek ma zbieżność i bezwzględna zbieżność szeregu odpowiednio dla pierwszego i drugiego przypadku, proszę o pomoc.
Funkcja sigma addytywna i szereg
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 paź 2012, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 10 razy
Funkcja sigma addytywna i szereg
Wydaje mi się, że założenie o zbieżności jest istotne, bo w ten sposób szeregi nie przyjmą wartości \(\displaystyle{ + \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\) i w ten sposób nie otrzymamy symbolu nieoznaczonego
Funkcja sigma addytywna i szereg
Czy tutaj dla udowodnienia addytywności trzeba rozpatrzyć \(\displaystyle{ A,B}\) - skończone \(\displaystyle{ X-A,X-B}\) - skończone oraz \(\displaystyle{ A}\) skończone, \(\displaystyle{ X-B}\) - skończone? Czy wystarczy pokazać, że indykator na sumie zbiorów jest sumą indykatorów na zbiorach bez rozpatrywania przypadków?
Ostatnio zmieniony 13 lis 2018, o 15:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Funkcja sigma addytywna i szereg
Taka definicja jest bez sensu, dopóki nie podamy, w jakiej kolejności należy sumować wyrazy zbioru \(\displaystyle{ \{ a_{n} 1_{(A)}(n) : n \in A \}}\). Rozumiem, że w kolejności rosnących \(\displaystyle{ n}\)?nowyyyy4 pisze:[...] niech \(\displaystyle{ \left( a_{n}\right)_{n \in \NN}}\) będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych,
że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny. Pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \lambda: M \rightarrow \overline{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \lambda(A)=\sum_{n \in A} a_{n} 1_{(A)}(n)}\) dla \(\displaystyle{ A \in M}\), [...]
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcja sigma addytywna i szereg
To u Ciebie pewnie chodzi o
\(\displaystyle{ \lambda(A) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n)}\).
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\lambda(A \cup B) & \stackrel{(1)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_{A \cup B}(n) \\
& \stackrel{(2)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \big( 1_A(n) + 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(3)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cdot 1_A(n) + a_n \cdot 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(4)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n) + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_B(n) \\
& \stackrel{(5)}{=} \lambda(A) + \lambda(B),
\end{align*} $}\)
gdzie w kolejnych przejściach korzystamy z:
\(\displaystyle{ (1)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A \cup B)}\),
\(\displaystyle{ (2)}\) udowodnionej wcześniej własności,
\(\displaystyle{ (3)}\) rozdzielności mnożenia względem dodawania,
\(\displaystyle{ (4)}\) addytywności szeregów nieskończonych,
\(\displaystyle{ (5)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A)}\) i \(\displaystyle{ \lambda(B)}\).
Na ogół w razie wątpliwości, czy dany sposób rozwiązania jest dobry, warto go dokładnie rozpisać, uzasadniając każde przejście - wtedy dobrze widać, czy w rozumowaniu nie ma luki.
\(\displaystyle{ \lambda(A) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n)}\).
Można w ten drugi sposób. Najpierw pokazujemy, że \(\displaystyle{ 1_{A \cup B}(n) = 1_A(n) + 1_B(n)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz zbiorów rozłącznych \(\displaystyle{ A, B \subseteq \NN}\), a potem liczymy:Corinek pisze:Czy tutaj dla udowodnienia addytywności trzeba rozpatrzyć \(\displaystyle{ A,B}\) - skończone \(\displaystyle{ X-A,X-B}\) - skończone oraz \(\displaystyle{ A}\) skończone, \(\displaystyle{ X-B}\) - skończone? Czy wystarczy pokazać, że indykator na sumie zbiorów jest sumą indykatorów na zbiorach bez rozpatrywania przypadków?
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\lambda(A \cup B) & \stackrel{(1)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_{A \cup B}(n) \\
& \stackrel{(2)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \big( 1_A(n) + 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(3)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cdot 1_A(n) + a_n \cdot 1_B(n) \big) \\
& \stackrel{(4)}{=} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_A(n) + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot 1_B(n) \\
& \stackrel{(5)}{=} \lambda(A) + \lambda(B),
\end{align*} $}\)
gdzie w kolejnych przejściach korzystamy z:
\(\displaystyle{ (1)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A \cup B)}\),
\(\displaystyle{ (2)}\) udowodnionej wcześniej własności,
\(\displaystyle{ (3)}\) rozdzielności mnożenia względem dodawania,
\(\displaystyle{ (4)}\) addytywności szeregów nieskończonych,
\(\displaystyle{ (5)}\) definicji \(\displaystyle{ \lambda(A)}\) i \(\displaystyle{ \lambda(B)}\).
Na ogół w razie wątpliwości, czy dany sposób rozwiązania jest dobry, warto go dokładnie rozpisać, uzasadniając każde przejście - wtedy dobrze widać, czy w rozumowaniu nie ma luki.