całka Lebesgue'a

[Marien]

Mam problem z następującym zadaniem:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\left[ 0, \frac{ \pi }{4} \right] \rightarrow \RR}\) określona wzorem \(\displaystyle{ f\left( x\right) =\begin{cases} \ctg x &\text{dla } x \in \left[ 0, \frac{ \pi }{4} \right] \cap \QQ\\ \tg x &\text{dla } x \in \left[ 0, \frac{ \pi }{4} \right]\setminus \QQ \end{cases}}\). Wykazać,że \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna w sensie Lebesgue'a i obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{\left[ 0, \frac{ \pi }{4} \right]} fdm _{1}}\).

[Zordon]

\(\displaystyle{ f=\tg x}\) prawie wszędzie, zatem i całki są równe

[Marien]

Czyli należy policzyć całkę oznaczoną z funkcji \(\displaystyle{ \tg}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{ \pi }{4} \right]}\). Ale jak uzasadnić, że ta funkcja jest całkowalna?

[Zordon]

Ponieważ jest ciągła poza przeliczalnym zbiorem punktów.

[Marien]

Dziękuję.

[a4karo]

Ponieważ jest ciągła poza przeliczalnym zbiorem punktów.

Ta funkcja jest ciągła jedynie w \(\displaystyle{ \pi/4}\).
Prawidłowy argument: jest całkowalna, bo jest równa prawie wszędzie funkcji ciągłej i ograniczonej.