całka Lebesgue'a

[Marien]

Obliczyć z definicji całkę na zbiorze \(\displaystyle{ E}\) względem miary Lebesgue'a: \(\displaystyle{ [x]}\) cecha z \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ f(x)=[ \ln x ]}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x \in (0,e )}\) to \(\displaystyle{ f(x)=0}\)
\(\displaystyle{ x \in [e, e^2 )}\) to \(\displaystyle{ f(x)=1}\)
\(\displaystyle{ x \in [e ^2, e^3 )}\) to \(\displaystyle{ f(x)=2}\)
...
\(\displaystyle{ x \in [e ^{k-1}, e^k )}\) to \(\displaystyle{ f(x)=k-1}\)
Zatem \(\displaystyle{ \int_{E}fdm _{1} =\sum_{k=1}^{\infty} \left( k-1\right)\left( e^k - e^{k-1} \right)}\)
Proszę o sprawdzenie czy to jest dobrze i nie wiem jak dalej obliczyć tą sumę.

[bartek118]

\(\displaystyle{ \sum_k (k-1) (e^k - e^{k-1}) = \sum_k e^{k-1} (k-1)(e - 1) \geq \sum_k e^{k-1} = \infty}\)

[Marien]

Dziękuję.-- 7 cze 2014, o 09:39 --Mam jeszcze pytanie jaka byłaby suma, gdy \(\displaystyle{ E=\left[ 1,e ^{n} \right]}\)?

[bartek118]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n (k-1) (e^k - e^{k-1}) = \sum_{k=1}^n e^{k-1} (k-1) (e-1) = (e-1) \cdot \sum_{k=1}^n (k-1) e^{k-1} = (e-1) \cdot \sum_{k=2}^n (k-1) e^{k-1} = (e-1) \cdot \sum_{k=1}^{n-1} k e^k = (e-1)e \sum_{k=1}^{n-1} k e^{k-1} = (e^2-e) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \sum_{k=0}^{n-1} x^k \right) \Big|_{x=e}}\)