Proszę o pomoc. Oblicz korzystając z definicji
a) \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}2xdm}\)
b) \(\displaystyle{ \int_{[0,1)} sqrt{x}dm}\)
ad a) Robię to tak: dzielę przedział \(\displaystyle{ [0,1)}\) na przedzaiły \(\displaystyle{ \left( \frac{i}{n}, \frac{i+1}{n}\right) ,i=0,1,...,n-1}\) wtedy \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}2xdm= \sum_{i=1}^{n-1}f\left( \frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}}\) i co dalej? Jak to obliczyć do końca? Co do punktu b w ogólne nie mam pomysłu ale myślę, że trzeba analogicznie...
Całka Lebesgue'a
-
xtopeczkax
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 6 maja 2013, o 19:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 6 razy
-
szw1710
Całka Lebesgue'a
Korzystasz tu z definicji całki Riemanna. Definicja całki Lebesgue;a jest inna. Oczywiście funkcja \(\displaystyle{ 2x}\) jest całkowalna w sensie Riemanna, więc i w sensie Lebesgue'a i obie całki są równe.
Zrobiłbym tak: znalazłbym ciąg mierzalnych funkcji prostych zmierzający do \(\displaystyle{ 2x}\). To nie jest trudne. I w sumie zbytnio nie odbiega od tego, co piszesz. Po prostu przyjmij \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{2i}{n}}\) na \(\displaystyle{ \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right)}\). Narysuj to sobie. Mam nadzieję, że pamiętasz jak liczymy całkę z mierzalnej funkcji prostej.
Do pokazania masz parę rzeczy: że tak określony ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)}\) zmierza punktowo do \(\displaystyle{ 2x}\). Potem, że ciąg całek \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}f_n\,\dd m}\) zmierza do całki \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}2x\,\dd m}\).
Zrobiłbym tak: znalazłbym ciąg mierzalnych funkcji prostych zmierzający do \(\displaystyle{ 2x}\). To nie jest trudne. I w sumie zbytnio nie odbiega od tego, co piszesz. Po prostu przyjmij \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{2i}{n}}\) na \(\displaystyle{ \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}\right)}\). Narysuj to sobie. Mam nadzieję, że pamiętasz jak liczymy całkę z mierzalnej funkcji prostej.
Do pokazania masz parę rzeczy: że tak określony ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)}\) zmierza punktowo do \(\displaystyle{ 2x}\). Potem, że ciąg całek \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}f_n\,\dd m}\) zmierza do całki \(\displaystyle{ \int_{[0,1)}2x\,\dd m}\).
-
szw1710
Całka Lebesgue'a
Wskazówka: gdyby to liczyć z definicji całki Riemanna, można wziąć jako pośredni punkt początkowy. Zauważ, że taką konstrukcję zrobiłem przy \(\displaystyle{ 2x}\) dobierając ciąg funkcji prostych. Więc jak? Popraw nieco i już.
-
szw1710
Całka Lebesgue'a
Mieszasz, jak sądzę. Czemu Ci nie pasuje \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{i}{n}}}\)? Tak zwyczajnie. Taki grzebień na pierwiastku.
-
szw1710
Całka Lebesgue'a
A to już inna sprawa. Nie sprawdzałem czy Twój ciąg zmierza do pierwiastka. Jeśli zmierza, to czemu nie.