Wyznaczyć miarę Lebesque'a zbioru A tych \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\), które mają rozwinięcie trójkowe \(\displaystyle{ \sum \frac{\varepsilon_n}{3^n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_n \in \{0,2\}}\), gdy n jest nieparzyste.
Czy to rozwiązanie jest poprawne?
\(\displaystyle{ A=\{x:x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon_n}{3^n}, \varepsilon_n\in\{0,2\}\} \\
A_1=\{x:x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon_n}{3^n}, \varepsilon_n\neq 1 \} \\
m(A)=m([0,1]\setminus A_1) \\
m(G_n)=\frac{2^{n-1}}{3^n} \\
m(A)=m \left( \left[ 0,1 \right] \setminus \bigcup G_n \right) =1-m \left( \bigcup G_n \right) =1-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} =1-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right) ^n=1-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1- \frac{2}{3} }1-1=0}\)
Miara Lebesque'a zbioru
-
m994
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 14 paź 2013, o 11:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
Miara Lebesque'a zbioru
Odświeżam temat ...
Skąd wiemy , że \(\displaystyle{ {1-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right) ^n=1-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1- \frac{2}{3} }}\) że tutaj zachodzi równość?
tzn. nie wiem co sie stało z sumą ...-- 21 lis 2014, o 00:17 --Ahaa, już chyba wiem. Chodzi o to, że jeśli suma szeregu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{2}{3} }}\) to musimy jeszcze to przemnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), bo sumowanie jest od 1, a nie od zera, tak ?
Skąd wiemy , że \(\displaystyle{ {1-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3} \right) ^n=1-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1- \frac{2}{3} }}\) że tutaj zachodzi równość?
tzn. nie wiem co sie stało z sumą ...-- 21 lis 2014, o 00:17 --Ahaa, już chyba wiem. Chodzi o to, że jeśli suma szeregu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{2}{3} }}\) to musimy jeszcze to przemnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), bo sumowanie jest od 1, a nie od zera, tak ?