Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Pokazać, że dla rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\) i borelowskich \(\displaystyle{ f,g}\) zachodzi :
\(\displaystyle{ \int_{}^{} af+bg\ d \lambda \ = a\int_{}^{} f \ d \lambda \ + \ b\int_{}^{} g \ d \lambda}\)
Możnaby rozpisać z def. \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) jako funkcje proste i potem stworzyć dla nich wspólny podział ?
Macie jakieś pomysły ?
Proponuję z definicji - najpierw jako funkcje proste, potem trzeba wziąć ciąg funkcji prostych, i na końcu rozbić na część ujemną i dodatnią - po kolei, tak jak definiujemy. Czasem łatwiej pokazać dwa warunki, równoważne temu, tj: \(\displaystyle{ \int af \mathrm{d} \ell = a \int f \mathrm{d} \ell}\)
oraz \(\displaystyle{ \int f + g \mathrm{d} \ell = \int f \mathrm{d} \ell + \int g \mathrm{d} \ell}\)
