Znaleźć najmniejszą sigma algebrę

[madziula1784]

Znaleźć najmniejszą \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę na \(\displaystyle{ X}\), która zawiera wszystkie zbiory skończone w przypadku gdy:
1) \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\)
2)\(\displaystyle{ X=\mathbb{Z}}\)

[szw1710]

W przypadku całkowitym to trywialne. Zauważ, że wszystkie singletony \(\displaystyle{ \{n\}}\) należą to tej sigma-algebry. Każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest co najwyżej przeliczalną sumą singletonów.

[Spektralny]

W przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest to tym bardziej trywialne. Algebra ta składa się z tych podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), które są przeliczalne, bądź ich dopełnienie jest przeliczalne. Potrzeba do tego jest jednak pewna forma aksjomatu wyboru, ponieważ jest niesprzeczne z ZF, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest przeliczalną sumą zbiorów przeliczalnych.

[plamaster]

Czyil co w obu przypadkach ta poszukiwana rodzina zbiorów to \(\displaystyle{ \left\{ X,\emptyset\right\}}\) ?

[plamaster]

Dobra, dobra, ale kolega złośliwy. Nie każdy już skończył matematykę i czasami najprostsze rzeczy sprawiają trudności. proszę o wyrozumiałość. Święta idą.

-- 22 gru 2012, o 16:59 --

OK. Pytanie faktycznie było głupie rozumiem, że ta algebra w przypadku liczb całkowitych składa się ze zbiorów typu \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\), typu\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}}\) itd. Więc jak to zapisać, czy da się to ująć w jakiś mat. wzór czy w tym przypadku trzeba opisać słownie?

[Spektralny]

Więc jak to zapisać, czy da się to ująć w jakiś mat. wzór czy w tym przypadku trzeba opisać słownie?

• \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \{X\subseteq \mathbb R\colon {\rm card}\, X \leqslant \aleph_0 \text{ lub } {\rm card}\, \mathbb{R}\setminus X \leqslant \aleph_0\}.}\)