Sigma ciało zbiorów borelowskich

[mariolka0303]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sigma(\textbf{R})}\), jeżeli \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ \textbf{R}=\lbrace[a,b): a,b\in\mathbb{R}, a<b\rbrace}\). Nie interesuje mnie tylko sam wynik, ale chciałabym wiedzieć jak wyznaczyc to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało. Prosze o wytłumaczenie metody wyznaczania.

[Ein]

A potrafisz posługiwać się indukcją pozaskończoną?

[Nakahed90]

Można pokazać, że \(\displaystyle{ \sigma(\textbf{R})=B(\mathbb{R})}\). W tym celu trzeba pokazać inkluzje w obie strony.

\(\displaystyle{ " \subset "}\)
Niech \(\displaystyle{ A\in \textbf{R}}\), wtedy \(\displaystyle{ A=[a,b)}\) dla pewnych rzeczywistych a,b takich, że \(\displaystyle{ a<b}\).
\(\displaystyle{ [a,b)= \{a\} \cup (a,b) = (\mathbb{R}\setminus ((-\infty,a) \cup (b,+\infty))) \cup (a,b) \in B(\mathbb{R})}\) jako suma elementów \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała. Z dowolności wyboru A mamy, że \(\displaystyle{ \textbf{R} \subset B(\mathbb{R})}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ \sigma(\textbf{R}) \subset B(\mathbb{R})}\).
Inkluzję w drugą stronę pokazuje się analogicznie. Warto tutaj skorzystać z fakty, że każdy zbiór otwarty jest przeliczalną sumą przedziałów ograniczonych. Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \sigma(\textbf{R})}\) zawiera wszystkie przedziały otwarte postaci \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla pewnych rzeczywistych a,b takich, że \(\displaystyle{ a<b}\).

-- 5 listopada 2012, 23:33 --

A potrafisz posługiwać się indukcją pozaskończoną?

Myślę, że aż takie działa nie są tutaj potrzebne.

[Ein]

Zależy, o co pyta autorka wątku. To, że to jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zbiorów borelowskich, to widać od razu (np. Twoje rozumowanie). Tylko to nie mówi nic, o tym jak wygląda ta rodzina. Przez indukcję można określić hierarchię zbiorów borelowskich, co da już pewien ogląd, jakie zbiory są borelowskie.

[mariolka0303]

Nie potrafię posługiwać się indukcją pozaskończoną, a rzeczywiście interesuje mnie jak wygląda ta rodzina. Jest może inny sposób jej wyznaczenia niż wspomniana indukcja?

[Zordon]

To jak wygląda ta rodzina jest poza percepcją człowieka. Hierarchia ma \(\displaystyle{ \omega_1}\) pięter, natomiast cała oswojona matematyka odbywa się na piętrach poniżej 4-5.

[Ein]

No dlatego powiedziałem, że hierarchia daje tylko "pewien ogląd"

Co do pytania mariolki. Zauważ, że możesz rozważyć \(\displaystyle{ \textbf{R}'=\lbrace[a,b): a,b\in\mathbb{Q}, a<b\rbrace}\) zamiast \(\displaystyle{ \textbf{R}=\lbrace[a,b): a,b\in\mathbb{R}, a<b\rbrace}\). Wtedy \(\displaystyle{ \sigma(\textbf{R}')=\sigma(\textbf{R})}\). Rodzina \(\displaystyle{ \textbf{R}'}\) jest przeliczalna. Teraz zerknij na ten mój post: Zmienna losowa, dowód (Post by Ein #4957677).