Matematyka.pl

\(\displaystyle{ l _{n}}\)- n-wymiarowa miara Lebesgue'a
\(\displaystyle{ L_{n} - \sigma}\) - ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a

Zadanie 1
Niech \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}^{n}}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A \in L_{n} , to \ A+a \in L_{n}, gdzie \ A+a = \{ x+a: x\in A \}}\)

Zadanie 2
Oznaczmy przez D podzbiór [0;1] składający się z punktów, których rozwinięcia dziesiętne nie zawierają cyfry 7. Obliczyć \(\displaystyle{ l_{1}(D)}\)

Zad.1
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie mierzalny w sensie Lebesgue'a. Istnieje wtedy zbiór \(\displaystyle{ B\in F_{\sigma}(\mathbb{R}^n )}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ C}\) miary zewnętrznej zero takie, że \(\displaystyle{ A=B \cup C.}\) Jest jasne, że dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}^n}\) zbiór \(\displaystyle{ B+a\in F_{\sigma}(\mathbb{R}^n )}\) oraz miara zewnętrzna zbioru \(\displaystyle{ C+a}\) wynosi zero. A ponieważ \(\displaystyle{ A+a =(B+a) \cup (C+a)}\) więc zbiór \(\displaystyle{ A+a}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

Zad. 2
Wskazówka:
Zbiór liczb, których dziesiętna jest liczbą \(\displaystyle{ 7}\) ma miarę \(\displaystyle{ 0,1}\)
zbiór liczb, których setna jest liczbą \(\displaystyle{ 7}\)ale dziesiętna jest różna od \(\displaystyle{ 7}\) ma miarę \(\displaystyle{ 9\cdot 0,01}\)
zbiór liczb, których tysieczna jest liczbą \(\displaystyle{ 7}\)ale dziesiętna i setna jest różna od \(\displaystyle{ 7}\) ma miarę...

Mam jeszcze pytanie co do zadania 2. Czy w związku z podpowiedzią \(\displaystyle{ l_{1}(D) = 1 - (0,1+9 \cdot 0,01+9 \cdot 9 \cdot 0,001+...)}\)?

Ola964 pisze:Mam jeszcze pytanie co do zadania 2. Czy w związku z podpowiedzią \(\displaystyle{ l_{1}(D) = 1 - (0,1+9 \cdot 0,01+9 \cdot 9 \cdot 0,001+...)}\)?

Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem liczb zawierających w rozwinięciu dziesiętnym cyfrę 5. Wtedy

\(\displaystyle{ A=[0,\,1]\setminus B}\)

oraz

\(\displaystyle{ B=\left\lbrace\left[\frac5{10},\,\frac6{10}\right)\cup\left[\frac5{100},\,\frac6{100}\right)\cup\left[\frac{15}{100},\,\frac{16}{100}\right)\cup\,\cdots\right\rbrace}\)

nietrudno zauważyć, że zbiory liczb zawierających cyfrę 5 na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu po przecinku są sumami \(\displaystyle{ 9^{k-1}}\) przedziałów o długościach \(\displaystyle{ \frac{1}{10^k}}\). Pozostaje zatem skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \mu(A)=1-\mu(B)}\), skorzystać z własności miary i wykonać kilka nieskomplikowanych przekształceń.

Ola964 pisze:Mam jeszcze pytanie co do zadania 2. Czy w związku z podpowiedzią \(\displaystyle{ l_{1}(D) = 1 - (0,1+9 \cdot 0,01+9 \cdot 9 \cdot 0,001+...)}\)?

Tak.