Całka lebesgue'a, zamiana zmiennych itp

[padalec007]

Witam, mam problem z tymi 5-cioma zadaniami:

1. Obliczyć odległosc punktu (1,0) od zbioru
\(\displaystyle{ A= (x,y) \in R ^{2} : y ^{3} \ge \frac{3}{2}x ^{2}-x ^{3}}\)

pomysł miałem, by zgodnie z załączoną wskazówką do zadania zrobic funkcję \(\displaystyle{ f=(1-x) ^{2} +(0-y) ^{2}}\) a następnie... albo z mn. Lagrange'a albo nie mam pojęcia jak ale mi nie wychodzi...

2. Obliczyć całkę

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} ( \int_{-1}^{1} \frac{siny}{ \sqrt[3]{y(y-x)} } dy )dx}\)
Uzasadnic postepowanie powołując się na odpowiednie twierdzenia

3. Obliczyc granicę

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{R ^{2} _{+} }^{} (e ^{nx}+e ^{ny} ) ^{-1/n} dl _{2}}\)
uzasadnic postępowanie powołując się na odpowiednie twierdzenia

4. Zapisać równanie
\(\displaystyle{ (xy+z) \frac{ \partial z}{ \partial x} +(1-y ^{2} ) \frac{ \partial z}{ \partial y} =x+yz}\)

w zmiennych \(\displaystyle{ (u,v,w(u,v))=(yz-x,xz-y,xy-z)}\)

5. Niech \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\) bedzie zbiorem mierzalnym o mierze Lebesgue'a \(\displaystyle{ l _{1} (A)=a, 0<a<1.}\) Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) oznacza miarę zbioru \(\displaystyle{ A \cap [0,x].}\) Obliczyć całkę
\(\displaystyle{ \int_{A}^{} f dl _{1}}\)

ostatnie nawet potrafię policzyć, ale ani zapisac tego porządnie ani uzasadnic nie potrafię

[fon_nojman]

5. \(\displaystyle{ B=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2:a \ge b \}}\)
\(\displaystyle{ \int_A f dl_1=\int_A \int_A \chi_{[0,x]}(y) dy dx=\int_A \int_A \chi_B(x,y) dy dx=(Fubini)=\int_{A\times A}\chi_B(x,y)d(x,y)=l_2((A\times A) \cap B)=\frac{[l_1(A)]^2}{2}}\)