Strona 1 z 1
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 28 gru 2009, o 21:28
autor: marcin_j
Witam wszystkich. Juz w kilku zadaniach napotkałem ten motyw i zastanawiam się czy moja hipoteza jest prawdziwa: czy każdy zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a miary dodatniej zawiera pewien odcinek? Będę wdzięczny za wskazówki przydatne przy dowodzeniu (niekoniecznie cały dowód:) ) ewentualnie kontrprzykład. Dzięki!
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 28 gru 2009, o 21:53
autor: bstq
zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a mają taką miarę: "ile możemy wcisnąć w nie sumę k-wymiarowych kostek (takich prostokątów) tak żeby te kostki nie wyszły poza zbiór"
dla
\(\displaystyle{ k=1}\) te kostki to odcinki
zbiór pusty jest mierzalny w sensie Lebesgue'a - możemy go pokryć odcinkiem o długości w granicy 0
ale czy odcinek zerowej długości to odcinek? wydaje mi się, że nie
na pewno prawdziwe jest stwierdzenie:
"każdy zbiór miary niezerowej Lebesgue'a w R zawiera odcinek niezerowej długości"
w
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^k}\),
\(\displaystyle{ k>1}\) każdy odcinek jest miary zero Lebesgue'a, bo
np. w
\(\displaystyle{ k=2}\)
\(\displaystyle{ \hbox{miara(prostokąt)=miara(1 współrzędna)} \cdot \hbox{miara(2 współrzędna)}}\)
\(\displaystyle{ \hbox{miara(odcinek)=miara(1 współrzędna)} \cdot 0=0}\)
ale w
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^k}\) takie zbiory się po prostu pomija - zaniedbuje, patrzy się na klasy zbiorów równych sobie poza zbiorami Lebesgue'a miary zero, więc nie ma sensu myśleć tutaj o odcinkach
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 28 gru 2009, o 21:57
autor: Zordon
to nie jest prawda, weźmy np. \(\displaystyle{ [0,1] \backslash \mathbb{Q}}\)
prawdziwe jest natomiast tw. Steinhausa: jeśli \(\displaystyle{ \lambda(A)>0}\) to \(\displaystyle{ A-A}\) zawiera niepusty przedział otwarty.
\(\displaystyle{ A-A=\{x-y:x,y\in A\}}\) to tzw. różnica kompleksowa.
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 28 gru 2009, o 21:58
autor: bstq
a to ciekawe
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 29 gru 2009, o 20:13
autor: marcin_j
dzieki:)
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 10 sty 2010, o 10:20
autor: sathan
Każy zbiór zerowej miary Lebesgue'a jest przeliczalny.
Zbiór o mierze dodatniej ma moc continuum, czyli jest odcinkiem.
Co kończy dowód.
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 10 sty 2010, o 11:12
autor: Wasilewski
Po co chcesz kogoś wprowadzić w błąd?
Już w tym temacie Zordon podał przykład brzegowego zbioru miary dodatniej. Zbiór Cantora natomiast ma miarę zero, a nijak nie chce być przeliczalny.
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 10 sty 2010, o 11:28
autor: sathan
Przepraszam, nie mówiłem nic o zbiorze Cantora. Jest on rzeczywiście domknięty, brzegowy
gęsty w sobie i nieprzeliczalny.
Wracając do odcinka.
Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Jeśli popełniłem kolejny poważny błąd proszę w miarę możliwości o sprostowanie, gdyż są Państwo autorytetami w tej dziedzinie, a ja nie.
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 10 sty 2010, o 11:31
autor: Zordon
sathan pisze:Przepraszam, nie mówiłem nic o zbiorze Cantora. Jest on rzeczywiście domknięty, brzegowy
gęsty w sobie i nieprzeliczalny.
Wracając do odcinka.
Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Jeśli popełniłem kolejny poważny błąd proszę w miarę możliwości o sprostowanie, gdyż są Państwo autorytetami w tej dziedzinie, a ja nie.
nie uważam się za żaden autorytet, ale powyżej podałem odpowiedni przykład, który pokazuje że to nie jest prawda.
podzbiory zbioru miary dodatniej
: 10 sty 2010, o 13:03
autor: Jan Kraszewski
sathan pisze:Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Przypuszczalnie tak, a w rzeczywistości nie (a dokładniej: niekoniecznie), To "przypuszczalnie" pokazuje, jak bardzo trzeba uważać z intuicjami...
JK