podzbiory zbioru miary dodatniej

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
marcin_j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: marcin_j » 28 gru 2009, o 21:28

Witam wszystkich. Juz w kilku zadaniach napotkałem ten motyw i zastanawiam się czy moja hipoteza jest prawdziwa: czy każdy zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a miary dodatniej zawiera pewien odcinek? Będę wdzięczny za wskazówki przydatne przy dowodzeniu (niekoniecznie cały dowód:) ) ewentualnie kontrprzykład. Dzięki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bstq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 67 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: bstq » 28 gru 2009, o 21:53

zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a mają taką miarę: "ile możemy wcisnąć w nie sumę k-wymiarowych kostek (takich prostokątów) tak żeby te kostki nie wyszły poza zbiór"
dla \(\displaystyle{ k=1}\) te kostki to odcinki

zbiór pusty jest mierzalny w sensie Lebesgue'a - możemy go pokryć odcinkiem o długości w granicy 0 :)
ale czy odcinek zerowej długości to odcinek? wydaje mi się, że nie

na pewno prawdziwe jest stwierdzenie:
"każdy zbiór miary niezerowej Lebesgue'a w R zawiera odcinek niezerowej długości"

w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^k}\), \(\displaystyle{ k>1}\) każdy odcinek jest miary zero Lebesgue'a, bo
np. w \(\displaystyle{ k=2}\)
\(\displaystyle{ \hbox{miara(prostokąt)=miara(1 współrzędna)} \cdot \hbox{miara(2 współrzędna)}}\)
\(\displaystyle{ \hbox{miara(odcinek)=miara(1 współrzędna)} \cdot 0=0}\)
ale w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^k}\) takie zbiory się po prostu pomija - zaniedbuje, patrzy się na klasy zbiorów równych sobie poza zbiorami Lebesgue'a miary zero, więc nie ma sensu myśleć tutaj o odcinkach
Ostatnio zmieniony 28 gru 2009, o 21:57 przez bstq, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: Zordon » 28 gru 2009, o 21:57

to nie jest prawda, weźmy np. \(\displaystyle{ [0,1] \backslash \mathbb{Q}}\)

prawdziwe jest natomiast tw. Steinhausa: jeśli \(\displaystyle{ \lambda(A)>0}\) to \(\displaystyle{ A-A}\) zawiera niepusty przedział otwarty.
\(\displaystyle{ A-A=\{x-y:x,y\in A\}}\) to tzw. różnica kompleksowa.

bstq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 67 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: bstq » 28 gru 2009, o 21:58

a to ciekawe

marcin_j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 gru 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: marcin_j » 29 gru 2009, o 20:13

dzieki:)

sathan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 10 sty 2010, o 01:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Pomógł: 4 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: sathan » 10 sty 2010, o 10:20

Każy zbiór zerowej miary Lebesgue'a jest przeliczalny.
Zbiór o mierze dodatniej ma moc continuum, czyli jest odcinkiem.

Co kończy dowód.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: Wasilewski » 10 sty 2010, o 11:12

Po co chcesz kogoś wprowadzić w błąd?
Już w tym temacie Zordon podał przykład brzegowego zbioru miary dodatniej. Zbiór Cantora natomiast ma miarę zero, a nijak nie chce być przeliczalny.

sathan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 10 sty 2010, o 01:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Pomógł: 4 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: sathan » 10 sty 2010, o 11:28

Przepraszam, nie mówiłem nic o zbiorze Cantora. Jest on rzeczywiście domknięty, brzegowy
gęsty w sobie i nieprzeliczalny.

Wracając do odcinka.
Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Jeśli popełniłem kolejny poważny błąd proszę w miarę możliwości o sprostowanie, gdyż są Państwo autorytetami w tej dziedzinie, a ja nie.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: Zordon » 10 sty 2010, o 11:31

sathan pisze:Przepraszam, nie mówiłem nic o zbiorze Cantora. Jest on rzeczywiście domknięty, brzegowy
gęsty w sobie i nieprzeliczalny.

Wracając do odcinka.
Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Jeśli popełniłem kolejny poważny błąd proszę w miarę możliwości o sprostowanie, gdyż są Państwo autorytetami w tej dziedzinie, a ja nie.
nie uważam się za żaden autorytet, ale powyżej podałem odpowiedni przykład, który pokazuje że to nie jest prawda.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 28105
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4659 razy

podzbiory zbioru miary dodatniej

Post autor: Jan Kraszewski » 10 sty 2010, o 13:03

sathan pisze:Jeśli zbiór miary dodatniej na prostej ma moc continuum, to przypuszczalnie jest nadzbiorem pewnego odcinka.
Przypuszczalnie tak, a w rzeczywistości nie (a dokładniej: niekoniecznie), To "przypuszczalnie" pokazuje, jak bardzo trzeba uważać z intuicjami...

JK

ODPOWIEDZ