Istota całki Lebesgue'a

[Milczek]

Cześć,

w całce Lebesgue'a wykorzystujemy fakt że funkcje proste przybliżają dowolną funkcję mierzalną. W ten sposób, możemy całkę z dowolnej funkcji mierzalnej przybliżyć całkami z funkcji prostych który "od dołu (w przypadku dodatniej funkcji)" przybliżają nam całkę z funkcji mierzalnej.

ALE, bez tego faktu całkę da się zdefiniować przecież - nie traci ona swych walorów w kwestii przejść granicznych. Czy powyższe twierdzenie po prostu nam daje pewność że całki Lebesgue'a dobrze będą się pokrywać z intuicjami( i rzeczywistymi wynikami ) wyniesionymi z całki Riemmana ?

Ok, ale co gdyby tego faktu wyżej nie było? Pod jakim względem nasza teoria całki Lebesgue'a staje się mniej ciekawa ? Ok, psują nam się intuicje w \(\displaystyle{ \RR^1, \RR^2, \RR^3}\) - ale przecież nie to zawsze jest celem, to że akurat tak wyszło powinniśmy chyba traktować jako dodatkowy profit? Przejścia graniczne nadal są do wykazania a to jest moc tej całki przecież - analiza funkcjonalna i rachunek prawdopodobieństwa dalej jest w swej teorii taki sam. A innych działach typu geometria różniczkowa i tak całkujemy prawie zawsze w sensie Riemmana - i nikt nie bawi się w nauke geometrii różniczkowej, twierdzeń Stokesa bądź innych rzeczy z tym związanych używajac do tego aparatu teorii miary.

Edit1. Napisałem prawie zawsze, bo ekspertem od geometrii różniczkowej nie jestem i nie będę pewnie - przeszedłem przez dwa semestry geometrii różniczkowej (po kilku semestrach analizy, analizy funkcjonalnej i ze trzech semestrach algebr) i mam wrażenie że jest to dziedzina trudna i złożona natomiast spokojnie po ogarnięciu różniczkowania wielu zmiennych, całki Riemmana, tw. Stokesa i algebry liniowej (czyli 3 semestry analizy na oko i 2 algebry liniowej) już można się uczyć hardej geometrii różniczkowej i ta cała teorio-miarowa abstrakcja w tych dziedzinach się w ogóle u mnie nie pojawiła.

Dodano po 13 minutach 27 sekundach:
I w ogóle coś co mnie ostatnio rozbawiło : całki Lebesgue'a można się uczyć nie wiedząc czym jest miara Lebesgue'a i zwolennikiem takiego podejścia chyba bym był. Po ogarnięciu mierzalności funkcji i definicji całki i ogólnych pojęć z teorii miary - dopiero bym wprowadził pojęcie miary Lebesgue'a i jest zgloryfikował jakim jest fantastycznym pojęciem i czemu powinniśmy ją lubić.

[Elvis]

Czy powyższe twierdzenie po prostu nam daje pewność że całki Lebesgue'a dobrze będą się pokrywać z intuicjami (i rzeczywistymi wynikami) wyniesionymi z całki Riemanna?

I tak, i nie. Rzeczywiście, całka Lebesgue'a jest rozszerzeniem całki Riemanna, tzn. każda funkcja całkowalna w sensie R jest również całkowalna w sensie L, i oba podejścia przypisują jej tę samą wartość całki. W związku z tym intuicje dotyczące całki R przenoszą się (w całkiem dosłowny sposób) na całkę L. Jak słusznie zauważyłeś, powyższy fakt wynika z zacytowanej przez Ciebie charakteryzacji całki L opartej na całkowaniu funkcji prostych.
Ale odpowiedź brzmi też częściowo nie. Wyrażenie po prostu wskazywałoby, że jest to główny cel takiej charakteryzacji, a tak przecież nie jest.

Ok, ale co gdyby tego faktu wyżej nie było? Pod jakim względem nasza teoria całki Lebesgue'a staje się mniej ciekawa?

Bardzo trudno odpowiedzieć na pytanie co by było gdyby w przypadku, gdy mówimy o twierdzeniu, które - tak się składa - po prostu jest prawdziwe. Jeśli chciałeś zapytać, czy istnieją inne charakteryzacje czy też równoważne definicje całki Lebesgue'a, to oczywiście tak, istnieją. I można z nich wyprowadzić te same interesujące nas twierdzenia.

A w innych działach typu geometria różniczkowa i tak całkujemy prawie zawsze w sensie Riemanna - i nikt nie bawi się w nauke geometrii różniczkowej, twierdzeń Stokesa bądź innych rzeczy z tym związanych używajac do tego aparatu teorii miary.

Nikt to duża przesada. Żeby nie szukać daleko - na Uniwersytecie Warszawskim całkę R omawia się jedynie w jednym wymiarze (na drugim semestrze), potem pojawia się całka L (na trzecim semestrze) i do całki R już się nie wraca. Wszystkie dalsze przedmioty na UW opierają się właśnie na całce L.
A szukając odrobinę dalej - bardziej zaawansowana geometria różniczkowa prędzej czy później musi sięgnąć po teorię Lebesgue'a. Choćby dlatego, że opiera się na niej teoria równań różniczkowych cząstkowych. Przykładowo, rozkład Hodge'a (w znanych mi źródłach) jest wyprowadzany przy użycia całki L.

I w ogóle coś co mnie ostatnio rozbawiło : całki Lebesgue'a można się uczyć nie wiedząc czym jest miara Lebesgue'a i zwolennikiem takiego podejścia chyba bym był. Po ogarnięciu mierzalności funkcji i definicji całki i ogólnych pojęć z teorii miary - dopiero bym wprowadził pojęcie miary Lebesgue'a i jest zgloryfikował jakim jest fantastycznym pojęciem i czemu powinniśmy ją lubić.

Ciekawa propozycja. Spotkałem się z czymś takim (pod nazwą całka/schemat Daniella), ale osobiście nie jestem przekonany.