Miara Diraca
Miara Diraca
\(\displaystyle{ \mu}\)-miara probabilistyczna borelowska na l.rzeczywistych ze \(\displaystyle{ \int_{A}(x^3+x^2-x-1)d \mu =0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ A}\). Udowodnic ze istnieje \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) że : \(\displaystyle{ \mu =tD_{1} +(1-t)D_{-1},}\) gdzie \(\displaystyle{ D}\) ozn miare Diraca.
całke zapisałam jako \(\displaystyle{ \int_{A} (x-1)(x+1)^2 d\mu}\) i co teraz moge zrobic?
całke zapisałam jako \(\displaystyle{ \int_{A} (x-1)(x+1)^2 d\mu}\) i co teraz moge zrobic?
Ostatnio zmieniony 31 gru 2018, o 00:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj znaków z Tablicy znaków.
Powód: Nie używaj znaków z Tablicy znaków.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Miara Diraca
Rozumiem, że to \(\displaystyle{ \mu}\) ma być zdefiniowane jako kombinacja dwóch miar Diraca ?
Wtedy jest to rozkład 2-punktowy skoncentrowany na \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\)
Nasza funkcja zeruje się na tych punktach a wykonując całkę względem takiej miary wyjdzie sumowanie \(\displaystyle{ f(-1)+f(1)=0+0=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Tak samo dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) miara zdefiniowana w ten sposób jest probabilistyczna
Otóż:
\(\displaystyle{ \mu (\mathbb{R})=\mu (\left\{ -1 \right\} )+\mu (\left\{ 1 \right\} )=t+1-t=1}\)
Wtedy jest to rozkład 2-punktowy skoncentrowany na \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\)
Nasza funkcja zeruje się na tych punktach a wykonując całkę względem takiej miary wyjdzie sumowanie \(\displaystyle{ f(-1)+f(1)=0+0=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).
Tak samo dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) miara zdefiniowana w ten sposób jest probabilistyczna
Otóż:
\(\displaystyle{ \mu (\mathbb{R})=\mu (\left\{ -1 \right\} )+\mu (\left\{ 1 \right\} )=t+1-t=1}\)
Ostatnio zmieniony 30 gru 2018, o 23:50 przez Kordyt, łącznie zmieniany 2 razy.
Miara Diraca
Własnie tak samo rozwiazywałam i tez mi wyszło dla kazdego i nie wiedziałam czy to dobrze jest
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Miara Diraca
Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ A \subset \RR - \left\{ 1,-1\right\}}\) takie, że
\(\displaystyle{ \mu(A) >0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ A = A_1 \cup A_2}\) gdzie \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 = \emptyset}\) i
nasz wielomian jest dodatni na \(\displaystyle{ A_1}\) i ujemny na \(\displaystyle{ A_2}\).
Twierdzę, że co najmniej jeden z tych zbiorów jest dodatniej miary (względem miu).
Podstaw ten zbiór do całki.
\(\displaystyle{ \mu(A) >0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ A = A_1 \cup A_2}\) gdzie \(\displaystyle{ A_1 \cap A_2 = \emptyset}\) i
nasz wielomian jest dodatni na \(\displaystyle{ A_1}\) i ujemny na \(\displaystyle{ A_2}\).
Twierdzę, że co najmniej jeden z tych zbiorów jest dodatniej miary (względem miu).
Podstaw ten zbiór do całki.
Ostatnio zmieniony 31 gru 2018, o 00:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Miara Diraca
Nie za badzo rozumiem czemu na \(\displaystyle{ A_{1}}\) dodatni a na \(\displaystyle{ A_{2}}\) ujemny?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: Miara Diraca
Wyrzuciliśmu, ze zbioru A wszystkie miejsca zerowe wielomianu, więc teraz w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in A}\) zachodzi \(\displaystyle{ w(x) > 0}\) lub \(\displaystyle{ w(x) < 0}\).
Jeśli \(\displaystyle{ w(x) > 0}\) to \(\displaystyle{ x \in A_1}\) w przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ x \in A_2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ w(x) > 0}\) to \(\displaystyle{ x \in A_1}\) w przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ x \in A_2}\)