Ilość pierwiastków funkcji

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Papabile
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 7 gru 2018, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: Papabile » 8 sty 2022, o 22:11

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie niestałą funkcją holomorficzną określoną w obszarze \(\displaystyle{ U}\) zawierającym domknięte koło D(0, 1). Pokazać że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ z \in S1 =\left\{ z : \left| z\right| = 1\right\} }\) mamy \(\displaystyle{ \left| f(z)\right| = 1}\), to \(\displaystyle{ f}\) ma przynajmniej jeden pierwiastek w kole \(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\).

No i nasuwa się od razu twierdzenie Rouchego ponieważ na krzywej \(\displaystyle{ \gamma=D\left( 0,1\right)}\) mamy dane na przykład szacowanie \(\displaystyle{ \left| f(z)\right| \le \left| -g(z) \right| }\) albo dowolny inny wielomian dla którego spełnione jest szacowanie jednak wtedy pokazuje, że równanie \(\displaystyle{ f(z)-g(z)=0}\) ma tyle samo rozwiązań co równanie \(\displaystyle{ -g(z)=0}\) czyli przynajmniej jedno jak dobiore odpowiednie \(\displaystyle{ g(z)}\), czyli w \(\displaystyle{ D\left( 0,1\right) }\) istnieje \(\displaystyle{ z}\) że zachodzi \(\displaystyle{ f(z)=g(z)}\) i to mi nic nie daje bo musiałbym brać \(\displaystyle{ g(z)=0}\) ale wtedy nie zachodzi już szacowanie i nie wiem jak dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ g(z)}\) żeby jakoś to ruszyć.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: janusz47 » 11 sty 2022, o 21:26

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)
Ostatnio zmieniony 12 sty 2022, o 11:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: nie wprost.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: a4karo » 11 sty 2022, o 23:21

janusz47 pisze:
11 sty 2022, o 21:26
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)
Intrygujące. Twierdzisz że funkcja `f(z)=z` spełniającą założenia, nie ma pierwiastków w kole jednostkowym?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: janusz47 » 12 sty 2022, o 08:09

A skąd wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) = z? }\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: a4karo » 12 sty 2022, o 08:25

janusz47 pisze:
12 sty 2022, o 08:09
A skąd wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ f(z) = z? }\)
Nie wiemy. Ale to jest przykład na to, że Twój argument nie jest poprawny.

Dodano po 12 minutach 38 sekundach:
Inna sprawa, że dla funkcji stałej twierdzenie nie zachodzi.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: janusz47 » 12 sty 2022, o 08:48

A jaka jest postać zbioru \(\displaystyle{ S_{1}, }\) na którym ma być ona określona?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: a4karo » 12 sty 2022, o 09:14

janusz47 pisze:
12 sty 2022, o 08:48
A jaka jest postać zbioru \(\displaystyle{ S_{1}, }\) na którym ma być ona określona?
Przeczytałeś zadanie?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: janusz47 » 12 sty 2022, o 10:03

To pytanie nic nie wnosi do stwierdzenia, że przyjęta metoda niewprost rozwiązania tego zadania jest poprawna.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20204
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: a4karo » 12 sty 2022, o 10:21

janusz47 pisze:
11 sty 2022, o 21:26
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zer wewnątrz \(\displaystyle{ D(0,1). }\)

Wskazówka: dowodzimy nie wprost, rozważając funkcję \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) i stosując zasadę maksimum - dochodzimy do sprzeczności, że \(\displaystyle{ f }\) musi być stała w \(\displaystyle{ D(0,1). }\)
Wybacz, ale to, co tu napisałeś to nie jest dowód nie wprost. To jest twierdzenie, że funkcja nie ma zer w kole jednostkowym. A że wskazówka dowodzi czegos zupełnie innego to dowód na to, że nie kontrolujesz tego, co piszesz.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Ilość pierwiastków funkcji

Post autor: janusz47 » 14 sty 2022, o 18:01

Dowód nie wprost.
Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f }\) nie ma zera wewnątrz jednostkowego dysku, to funkcja \(\displaystyle{ g = \frac{1}{f} }\) jest funkcją analityczną w sąsiedztwie z \(\displaystyle{ |g|=1. }\)
Z zasady maksimum wynika, że \(\displaystyle{ |g(0)|≤1,}\) równoważnie \(\displaystyle{ |f(0)|≥1,}\) czyli \(\displaystyle{ f }\) osiąga maksimum wewnątrz \(\displaystyle{ D[0,1]. }\)
Ponownie z zasady maksimum wynika, że \(\displaystyle{ f = const.}\) - absurd. Zaprzeczenie dowodzi, że funkcja \(\displaystyle{ f }\) musi mieć przynajmniej jeden pierwiastek w kole \(\displaystyle{ D(0,1). }\)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 18:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nie wprost.

ODPOWIEDZ