Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny

Post autor: Roshita » 2 gru 2021, o 19:27

Sprawdź, czy szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n}\)
jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) z koła jednostkowego \(\displaystyle{ K(0,1)=\left\{ z:\left| z \right|<1 \right\} }\).

Mój plan byłby taki, żeby wyznaczyć sobie \(\displaystyle{ z_0=1}\), \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{1}{2+i} \right)^n }\), policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left| \sqrt[n]{ \frac{1}{(2+i)^n} } \right| }\), dostać promień zbieżności \(\displaystyle{ R}\) i sprawdzić, czy koło jednostkowe zawiera się w kole \(\displaystyle{ K(1,R)}\). Tylko przy podobnych zadaniach nie było modułu przy \(\displaystyle{ z}\) w szeregu i nie bardzo mogę znaleźć przykład z czymś takim i nie wiem co z tym modułem zrobić.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7096
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 1531 razy

Re: Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny

Post autor: janusz47 » 5 gru 2021, o 21:15

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n }\)

Jest to szereg geometryczny o ilorazie:

\(\displaystyle{ q = \frac{|z| -1}{2 +i}.}\)

Warunek jego bezwzględnej zbieżności:

\(\displaystyle{ |q|< 1. }\)

Proszę poszukać tych liczb \(\displaystyle{ z, }\) dla których spełniona jest nierówność:

\(\displaystyle{ \left| \frac{|z|-1}{2 +i} \right| < 1 }\)

czyli

\(\displaystyle{ ||z| - 1 | < |2+ i| }\)

Dodano po 7 minutach :

\(\displaystyle{ |2 + i | = \ \ ...}\)
i
podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie strony nieujemne).

ODPOWIEDZ