Sprawdź, czy szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n}\)
jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich \(\displaystyle{ z}\) z koła jednostkowego \(\displaystyle{ K(0,1)=\left\{ z:\left| z \right|<1 \right\} }\).
Mój plan byłby taki, żeby wyznaczyć sobie \(\displaystyle{ z_0=1}\), \(\displaystyle{ a_n= \left( \frac{1}{2+i} \right)^n }\), policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\left| \sqrt[n]{ \frac{1}{(2+i)^n} } \right| }\), dostać promień zbieżności \(\displaystyle{ R}\) i sprawdzić, czy koło jednostkowe zawiera się w kole \(\displaystyle{ K(1,R)}\). Tylko przy podobnych zadaniach nie było modułu przy \(\displaystyle{ z}\) w szeregu i nie bardzo mogę znaleźć przykład z czymś takim i nie wiem co z tym modułem zrobić.
Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny
-
- Użytkownik
- Posty: 7921
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Sprawdź, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\left| z\right|-1 }{2+i} \right)^n }\)
Jest to szereg geometryczny o ilorazie:
\(\displaystyle{ q = \frac{|z| -1}{2 +i}.}\)
Warunek jego bezwzględnej zbieżności:
\(\displaystyle{ |q|< 1. }\)
Proszę poszukać tych liczb \(\displaystyle{ z, }\) dla których spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \left| \frac{|z|-1}{2 +i} \right| < 1 }\)
czyli
\(\displaystyle{ ||z| - 1 | < |2+ i| }\)
Dodano po 7 minutach :
\(\displaystyle{ |2 + i | = \ \ ...}\)
i
podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie strony nieujemne).
Jest to szereg geometryczny o ilorazie:
\(\displaystyle{ q = \frac{|z| -1}{2 +i}.}\)
Warunek jego bezwzględnej zbieżności:
\(\displaystyle{ |q|< 1. }\)
Proszę poszukać tych liczb \(\displaystyle{ z, }\) dla których spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \left| \frac{|z|-1}{2 +i} \right| < 1 }\)
czyli
\(\displaystyle{ ||z| - 1 | < |2+ i| }\)
Dodano po 7 minutach :
\(\displaystyle{ |2 + i | = \ \ ...}\)
i
podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie strony nieujemne).